線型代数の有名事実～部分空間と次元の関係について

$U_m = \langle v_1 , v_2 , \cdots , v_m \rangle$ とおく。

$m < n$ より $U_m \subsetneq V$ である。よって，$v_{m+1} \in V \backslash U_m$ を取ることができる。

このとき，$v_1, v_2, \cdots , v_m , v_{m+1}$ は一次独立であるため， $$U_{m+1} = \langle v_1 , v_2 , \cdots , v_m , v_{m+1} \rangle$$ とすると，$U_m \subsetneq U_{m+1}$，$\dim U_{m+1} = m+1$ である。

帰納的に繰り返すことで $V$ の一次独立な元 $v_1 , v_2 , \cdots , v_n$ を得る。$\dim V = n$ であるため，これらは基底を成す。

こうして題意が示された。

$W$ の基底 $S = \{ w_1, w_2 , \cdots , w_n \}$ を取る。このとき，基底の取り方によらず $n = \dim W$ で一定となる。

$w_1, w_2 , \cdots , w_n$ は $V$ の元としても一次独立である。

よって，$w_1, w_2, \cdots , w_n$ を含むように $V$ の基底 $T$ を取ることができる。

このとき $\# S \le \# T$ である。次元の定義より $\dim W \le \dim V$ が従う。

$\dim V = \dim W$ より，前半の証明での $S$ と $T$ は一致する。

つまり，$S = \{ w_1 , w_2 , \cdots , w_n \}$ は $V$ の基底となる。よって $V = W$ である。