基底の変換行列～定義と具体例

更新 2024/06/11

定義

ベクトル空間 $V$ の2つの基底 $\{ v_1 , \dots , v_n \}$ ， $\{ {v_1}', \dots , {v_n}' \}$ について

$\begin{pmatrix} {v_1}' & \cdots & {v_n}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{pmatrix} P$

を満たす $n\times n$ 正方行列 $P$ を基底の変換行列という。ただし，

$\begin{pmatrix} {v_1}' & \cdots & {v_n}' \end{pmatrix}$ とは， $n$ 本の縦ベクトル ${v_1}',...,{v_n}'$ を横に並べた $n\times n$ 行列
$\begin{pmatrix} {v_1} & \cdots & {v_n} \end{pmatrix}$ とは， $n$ 本の縦ベクトル ${v_1},...,{v_n}$ を横に並べた $n\times n$ 行列

この記事では，基底の変換行列について，例を使いながら説明します。

基底の変換行列は線型代数においてとても大事な概念です。ぜひ理解しましょう。

例

標準基底からの変換V=R3V = \mathbb{R}^3V=R3 で考えてみましょう。
標準的な基底 e1=(100)e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}e1​=⎝⎛​100​⎠⎞​，e2=(010)e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}e2​=⎝⎛​010​⎠⎞​，e3=(001)e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}e3​=⎝⎛​001​⎠⎞​ から基底 {v1,v2,v3}\{v_1,v_2,v_3\}{v1​,v2​,v3​} への基底の変換行列を求めましょう。
基底の変換行列の定義式を書いてみると，
(v1v2v3)=(e1e2e3)P
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2 & v_3
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
e_1 & e_2 & e_3 
\end{pmatrix}
P
(v1​​v2​​v3​​)=(e1​​e2​​e3​​)P
です。ここで，(e1e2e3)\begin{pmatrix}
e_1 & e_2 & e_3 
\end{pmatrix}(e1​​e2​​e3​​) は単位行列と一致するので，結局
P=(v1v2v3)P=\begin{pmatrix}
v_1 & v_2 & v_3 
\end{pmatrix}P=(v1​​v2​​v3​​)
となります。このように，標準的な基底から，基底 {v1,v2,v3}\{v_1 , v_2 , v_3\}{v1​,v2​,v3​} への基底の変換行列は，基底を並べた
(v1v2v3)
\begin{pmatrix}
v_1 & v_2 & v_3
\end{pmatrix}
(v1​​v2​​v3​​)
となります。3次元の例で確認しましたが，一般の nnn 次元でも同様です。
多項式から成るベクトル空間VVV を3次以下の xxx 変数の多項式から成るベクトル空間とします。
基底 {1,x,x2,x3}\{ 1,x,x^2,x^3 \}{1,x,x2,x3} から基底 {1,1+x,x+x2,x2+x3}\{ 1,1+x,x+x^2,x^2+x^3 \}{1,1+x,x+x2,x2+x3} への変換行列は
(1100011000110001)
\begin{pmatrix}
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&1\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
⎝⎛​1000​1100​0110​0011​⎠⎞​
です。

逆変換

定理

基底 $\{ v_1 , \cdots , v_n \}$ から基底 $\{ {v_1}' , \cdots , {v_n}' \}$ への変換行列を $P$ とする。

このとき，基底 $\{ {v_1}' , \cdots , {v_n}' \}$ から基底 $\{ v_1 , \cdots , v_n \}$ への変換行列は $P^{-1}$ となる。

証明

後で証明するように， $P$ は逆行列を持つので， $\begin{pmatrix} {v_1}' & \cdots & {v_n}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{pmatrix} P$ の両辺に右から $P^{-1}$ をかければよい。

以下では， $P$ が実際に逆行列を持つことを証明する。

$P$ が逆行列を持たないと仮定すると $P$ のランクは $n-1$ 以下になる。→行列のランク(rank)の８通りの同値な定義・性質

すると $\begin{pmatrix} {v_1}' & \cdots & {v_n}' \end{pmatrix}$ のランクも $n-1$ 以下になる。これは $\{ v_1' , v_2' , \dots , v_n' \}$ が基底であることと矛盾する。

よって $P$ は逆行列を持つ。

対角化との関連

対角化とは，「標準基底」から「固有ベクトルたちによる基底」への変換である。

例

$A=\begin{pmatrix} 1&4\\3&2 \end{pmatrix}$ とおく。

線型写像 $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ を $f(x) = Ax$ と定める。

$A$ を対角化する。

固有方程式は $\begin{vmatrix} 1-t&4\\3&2-t \end{vmatrix} = t^2 - 3t -10$ より固有値は $5,-2$ である。

それぞれの固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\\ v_2 = \begin{pmatrix} 4\\-3 \end{pmatrix}$ となる。

$v_1, v_2$ は $\mathbb{R}^2$ の基底である。

$\begin{aligned} f(v_1) &= 5 v_1\\ f(v_2) &= -2 v_2 \end{aligned}$ より， $\{ v_1,v_2 \}$ から $\{ Av_1, Av_2 \}$ への基底の変換行列は $\begin{pmatrix} 5&0\\ 0&-2 \end{pmatrix}$ である。

行列の形で表すと $\begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5&0\\ 0&-2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ となる。

ここで $P = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ とすると $P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 5&0\\ 0&-2 \end{pmatrix}$ と対角化の式が得られる。

対角化の例は覚えておきましょう。ジョルダン標準形というものを考えるときに再登場します。