商ベクトル空間

演算が well-defined であること，つまり代表元の取り方に寄らずに和が定まることを確認する。

$v_1$ を $v$ と $\mathrm{mod} \ W$ で同値な元，$v'_1$ を $v'$ と $\mathrm{mod} \ W$ で同値な元とする。

$v-v_1 , v' - v'_1 \in W$ より $(v+v')-(v_1+v'_1) \in W$ である。

よって $$\begin{aligned} [v]+[v'] &= [v+v']\\ &= [v_1+v'_1]\\ &= [v_1] + [v'_1] \end{aligned}$$ である。

スカラー倍も同様にできる。

また，ベクトル空間の公理を満たすことも確認できる。

$\dim V = n$，$\dim W = m$ とする。（$n > m$ である。）

$V$ の基底を $\{ v_1, \cdots , v_n \}$ とおく。特に $\{ v_1 , \cdots , v_m \}$ は $W$ の基底となるように取る。

このとき $\{ [v_{m+1}], \cdots , [v_n] \}$ が $V/W$ の基底になることを示す。

• 線型独立であること

実数 $c_{m+1} , \cdots , c_n$ は $$c_{m+1} [v_{m+1}] + \cdots + c_n [v_n] = 0$$ を満たすとする。

このとき $$[c_{m+1} v_{m+1} + \cdots + c_n v_n] = 0$$ より $$c_{m+1} v_{m+1} + \cdots + c_n v_n \in W$$ である。

今 $W$ の基底は $\{ v_1 , \cdots , v_m \}$ であるため $$c_{m+1} v_{m+1} + \cdots + c_n v_n = 0$$ である。$\{ v_{m+1} , \cdots , v_n \}$ は線型独立であるため $c_{m+1} = \cdots = c_n = 0$ であるため $\{ [v_{m+1}] , \cdots , [v_n] \}$ は線型独立である。

• $V/W$ を貼ること

$V/W$ の元を任意に取る。これが $v \in V$ により $[v]$ と表されたとする。

$$v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$$ と表されるとする。

$[v_1] = 0 , \cdots , [v_m] = 0$ であることに注意すると $$\begin{aligned} [v] &= [a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n]\\ &= a_1 [v_1] + \cdots + a_m [v_m] \\ &\quad + a_{m+1} [v_{m+1}] + \cdots + a_n [v_n]\\ &= a_{m+1} [v_{m+1}] + \cdots + a_n [v_n] \end{aligned}$$ となるため，$V/W$ を貼ることが示された。

以上より $V/W$ の基底として $\{ [v_{m+1}] , \cdots, [v_n] \}$ を取ることができる。ゆえに $$\dim V/W = n-m = \dim V - \dim W$$ である。