商ベクトル空間

更新 2024/03/26

この記事では，商ベクトル空間について紹介します。

定義

$V$ をベクトル空間， $W$ を $V$ の部分ベクトル空間とする。

$V$ 上の二項関係 $\sim$ を $v \sim v'\iff v-v' \in W$ で定義すると， $\sim$ は同値関係を成す。 $V$ をこの同値関係で割った商集合はベクトル空間の構造を持つ。

これを商ベクトル空間といい， $V/W$ と書く。

実際にベクトル空間であること

商ベクトル空間が，本当にベクトル空間であることを証明します。

定理

商ベクトル空間 $V/W$ について

$[v]+[v'] = [v+v']$ （ $v,v' \in V$ ）
$c[v] = [cv]$ （ $c \in \mathbb{R}$ ， $v \in V$ ）

によって和とスカラー倍を定義すると，ベクトル空間の構造が入る。

※ 上では実ベクトル空間で考えているが，一般の体上のベクトル空間でも同じようにできる。

証明の概要

演算が well-defined であること，つまり代表元の取り方に寄らずに和が定まることを確認する。

$v_1$ を $v$ と $\mathrm{mod} \ W$ で同値な元， $v'_1$ を $v'$ と $\mathrm{mod} \ W$ で同値な元とする。

$v-v_1 , v' - v'_1 \in W$ より $(v+v')-(v_1+v'_1) \in W$ である。

よって $\begin{aligned} [v]+[v'] &= [v+v']\\ &= [v_1+v'_1]\\ &= [v_1] + [v'_1] \end{aligned}$ である。

スカラー倍も同様にできる。

また，ベクトル空間の公理を満たすことも確認できる。

well-defined とは？

$V/W$ の元はある $v$ によって $[v]$ と表されます。しかし $v-v_1 \in W$ となる $v_1$ を取れば $[v] = [v_1]$ です。

このように $V/W$ の元を $[V\text{の元}]$ と表す方法は複数通りあります。どの表し方でも和・スカラー倍がOKであることを「well-defined」と呼んでいます。

例

例1

$V = \mathbb{R}^4$ ， $W = \mathbb{R}^2$ とすると， $V/W \simeq \mathbb{R}^2$ である。

一般に $n > m$ の場合において $\mathbb{R}^{n} / \mathbb{R}^m \simeq \mathbb{R}^{n-m}$ となる。

例2

$V = \{ f \in \mathbb{R} [x] \mid f \ \text{は3次以下} \}\\ W = \{ f \in \mathbb{R} [x] \mid f \ \text{は2次以下} \}$ と定める。

$V/W \simeq \{ [a_3 x^3] \mid a_3 \in \mathbb{R} \} \simeq \mathbb{R}$

となる。

次元定理

定理

$V$ は有限次元ベクトル空間， $W$ は $V$ の部分ベクトル空間とする。このとき $\dim V/W = \dim V - \dim W$

証明

$\dim V = n$ ， $\dim W = m$ とする。（ $n > m$ である。）

$V$ の基底を $\{ v_1, \cdots , v_n \}$ とおく。特に $\{ v_1 , \cdots , v_m \}$ は $W$ の基底となるように取る。

このとき $\{ [v_{m+1}], \cdots , [v_n] \}$ が $V/W$ の基底になることを示す。

線型独立であること

実数 $c_{m+1} , \cdots , c_n$ は $c_{m+1} [v_{m+1}] + \cdots + c_n [v_n] = 0$ を満たすとする。

このとき $[c_{m+1} v_{m+1} + \cdots + c_n v_n] = 0$ より $c_{m+1} v_{m+1} + \cdots + c_n v_n \in W$ である。

今 $W$ の基底は $\{ v_1 , \cdots , v_m \}$ であるため $c_{m+1} v_{m+1} + \cdots + c_n v_n = 0$ である。 $\{ v_{m+1} , \cdots , v_n \}$ は線型独立であるため $c_{m+1} = \cdots = c_n = 0$ であるため $\{ [v_{m+1}] , \cdots , [v_n] \}$ は線型独立である。

$V/W$ を貼ること

$V/W$ の元を任意に取る。これが $v \in V$ により $[v]$ と表されたとする。

$v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$ と表されるとする。

$[v_1] = 0 , \cdots , [v_m] = 0$ であることに注意すると $\begin{aligned} [v] &= [a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n]\\ &= a_1 [v_1] + \cdots + a_m [v_m] \\ &\quad + a_{m+1} [v_{m+1}] + \cdots + a_n [v_n]\\ &= a_{m+1} [v_{m+1}] + \cdots + a_n [v_n] \end{aligned}$ となるため， $V/W$ を貼ることが示された。

以上より $V/W$ の基底として $\{ [v_{m+1}] , \cdots, [v_n] \}$ を取ることができる。ゆえに $\dim V/W = n-m = \dim V - \dim W$ である。

直和との相性もよいです。これについてはまた今度……。