行列の固有空間とその性質

$A = \begin{pmatrix} 2&1\\3&4 \end{pmatrix}$ の固有空間を調べてみよう。

まず固有値を計算する。固有方程式（特性方程式）は $$\begin{vmatrix} 2-t&1\\ 3&4-t \end{vmatrix} = t^2 - 6t + 5 = 0$$ より固有値は $1,5$ である。

• 固有値 $1$ の固有空間

固有値 $1$ の固有ベクトルを求める。$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in W(1)$ とすると， $$\begin{cases} 2x+y=x\\ 3x+4y=y \end{cases}$$ を満たす。よって $\begin{pmatrix} t\\-t \end{pmatrix} \ (t \in \mathbb{C})$ が固有ベクトルであり，固有空間は $$W(1) = \left\{ \begin{pmatrix} t\\ - t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C} \right\}$$ である。

• 固有値 $5$ の固有空間

同様に計算すると $$W(5) = \left\{ \begin{pmatrix} 3t\\t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C} \right\}$$ となる。

$A = \begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&0\\ 2&0&0 \end{pmatrix}$ の固有空間による分解を調べていく。

固有多項式を計算する。 $$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1-t&2&1\\ 0&1-t&0\\ 2&0&-t \end{vmatrix}\\ &= (1-t)^2 (-t) - 2 (1-t)\\ &= (1-t) (t^2-t-2)\\ &= (1-t)(t-2)(t+1) \end{aligned}$$ より固有値は $1,2,-1$ である。

それぞれの固有空間を計算しよう。

• $W(1)$ $$\begin{cases} x+2y+z=x\\ y=y\\ 2x = z \end{cases}$$ を解くことで $$W(1) = \left\{ \begin{pmatrix} t\\-t\\2t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C} \right\}$$ を得る。

• $W(2)$ $$\begin{cases} x+2y+z = 2x\\ y = 2y\\ 2x = 2z \end{cases}$$ を解くことで $$W(2) = \left\{ \begin{pmatrix} t\\0\\t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C} \right\}$$ を得る。

• $W(-1)$ $$\begin{cases} x+2y+z = -x\\ y = -y\\ 2x = -z \end{cases}$$ を解くことで $$W(-1) = \left\{ \begin{pmatrix} t\\0\\-2t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C} \right\}$$ を得る。

それでは実際に3次元ベクトルの分解を見よう。

$\begin{pmatrix} 2\\1\\4 \end{pmatrix}$ は $$\begin{pmatrix} 2\\1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\1\\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4\\0\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\0\\2 \end{pmatrix}$$ と分解される。

$A = \begin{pmatrix} 2&-2&6\\ 0&4&-6\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}$ の固有空間による分解を調べていく。

固有方程式を計算する。

$$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 2-t &-2&6\\ 0&4-t&-6\\ 0&1&-1-t \end{vmatrix}\\ &= (2-t)(4-t)(-1-t)\\ &\qquad + 6 (2-t)\\ &= (2-t) \{ (4-t)(-1-t) + 6 \}\\ &= (2-t)(t^2-3t+2)\\ &= (2-t)(2-t)(1-t) \end{aligned}$$ よって固有値は $t=1,2$ である。

それぞれの固有値の固有空間を計算する。

• $W(1)$ $$\begin{cases} 2x-2y+6z = x\\ 4y-6z = y\\ y - z = z \end{cases}$$ を解くと $y=2z$，$x=-2z$ を得るため $$W(1) = \left\{ \begin{pmatrix} -2t\\2t\\t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C} \right\}$$ となる。

• $W(2)$ $$\begin{cases} 2x-2y+6z = 2x\\ 4y-6z = 2y\\ y - z = 2z \end{cases}$$ を解くと $y=3z$（$x$ は任意）を得るため $$W(2) = \left\{ \begin{pmatrix} s\\3t\\t \end{pmatrix} \mid s,t \in \mathbb{C} \right\}$$ となる。

前と同じベクトル $\begin{pmatrix} 2\\1\\4 \end{pmatrix}$ の分解を見る。 $$\begin{pmatrix} 2\\1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -22\\22\\11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 24\\-21\\-7 \end{pmatrix}$$ と分解される。

$A = \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 1&-2&1\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$ の固有空間を調べる。

固有方程式は $$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1-t & 0 & -1\\ 1 & -2-t & 1\\ 1 & -1 & -t \end{vmatrix}\\ &= (1-t)(-2-t)(-t) - (1-t) \cdot 1 \cdot (-1)\\ &\quad +(-1) \cdot 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 \cdot (-2-t)\\ &= -t^3 - t^2 + 2t + 1-t + 1 -2-t\\ &= -t^3 -t^2 \\ &= -t^2 (t+1) \end{aligned}$$ であるため，固有値は $0,-1$ である。

• $W(-1)$ $$\begin{cases} x-z = -x\\ x-2y+z=-y\\ x-y=-z \end{cases}$$ を解くと $z = 2x$，$y = 3x$ より $$W(1) = \left\{ \begin{pmatrix} t\\3t\\2t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C}\right\}$$

• $W(0)$ $$\begin{cases} x-z = 0\\ x-2y+z=0\\ x-y=0 \end{cases}$$ を解くと $x=y=z$ より $$W(0) = \left\{ \begin{pmatrix} t\\t\\t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{C} \right\}$$ である。

よって $W(-1) \oplus W(0) \subsetneq \mathbb{C}^3$ であり，ベクトルの分解をすることはできない。