逆正弦法則の意味と導出

$F(r)$ を微分して $p(r)$ になることを確認する。

$(\mathrm{Arcsin}\:x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ および合成関数の微分公式より

$\dfrac{dF(r)}{dr}=\dfrac{2}{\pi}\dfrac{1}{\sqrt{1-r}}\times\dfrac{1}{2\sqrt{r}}=p(r)$

また，$F(0)=0,F(1)=1$ であることもわかる。

• (a) は簡単。$2N$ 回のうち $N$ 回 $+1$ で $N$ 回 $-1$ になる場合の数は ${}_{2N}\mathrm{C}_N$

• ©=(a) を示す。一番大変。
  「$2N$ 回終了時に $0$ にいる (a) のパターン」と「$2N$ 回目までずっと $0$ 以上である © のパターン」の間に1対1対応があることを示せばよい。 (a) のパターンに対して，
  「最初に最小値を達成した点 $A$ までの部分を切って $y$ 軸に関して折り返して末尾につけて原点を $A$ に平行移動する」
  と © のパターンになる。 逆の操作も構成できる。つまり，©のパターンに対して
  「はじめて最終累積値の半分まで戻った点 $B$ まで切って折り返して最初につけて原点を先頭の点に平行移動する」ともとの(a)のパターンに戻る。

• (b)=© を示す。文章は長いが難しくない。

  • 「$2N$ 回目まで0に1回も戻らない (b) のパターン」のうち「最初に+1」となるのは半分である。
  • 「$2N$ 回目までずっと $0$ 以上である © のパターン」のうち「最後に+1」となるのは半分である。なぜなら，$2N-1$ 回目終了時は奇数ポイントなので，その時点までで © のパターンか否かが決まるからである。
  • 以上から「(b) のパターンのうち最初に+1のもの」と「© のパターンのうち最後に+1のもの」の間に1対1対応があることを示せばよい。
    「(b) のパターンのうち最初に+1のもの」に対して「最初の1回分を無視して，最後の1回に $+1$ をつける」と © のパターンになる。逆に「© のパターンのうち最後に+1のもの」に対して「最後の1回分を無視して，最初の1回に $+1$ をつける」と元に戻る。

まず，試行回数が $2N$ のとき，$P\left(R_2=\dfrac{k}{N}\right)=u_{2k}u_{2N-2k}$ であることを示す。

$R_2=\dfrac{k}{N}$ となるのは，$2N$ 回のうち「最初の $2k$ 回終了時に0にいる」かつ「後半の $2N-2k$ 回で0に1回も戻らない」なので，補題の(a)と(b)より定理が成立。

次に，$u_{2k}$ を評価する。

スターリングの公式 $k!\fallingdotseq\sqrt{2\pi k}\left(\dfrac{k}{e}\right)^k$ より，

$u_{2k}=\dfrac{{}_{2k}\mathrm{C}_{k}}{2^{2k}}\\ =\dfrac{1}{2^{2k}}\dfrac{(2k)!}{k!k!}\\ \fallingdotseq\dfrac{1}{2^{2k}}\dfrac{\sqrt{2\pi(2k)}(\frac{2k}{e})^{2k}}{\sqrt{2\pi k}(\frac{k}{e})^k\times\sqrt{2\pi k}(\frac{k}{e})^k}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$

以上より，

$P\left(R_2=\dfrac{k}{N}\right)\\ =u_{2k}u_{2N-2k}\\\fallingdotseq \dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{\sqrt{k(N-k)}}\\ =\dfrac{1}{N}\cdot\dfrac{1}{\pi\sqrt{\frac{k}{N}(1-\frac{k}{N})}}$

つまり $N$ が十分大きいとき，$R_2$ は確率密度関数が $p(r)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{\sqrt{r(1-r)}}$ である分布に近づく（区分求積法）。