2曲線が接する3通りの条件

多項式なので重解の条件を使ってみる。

$x=a$ で接するとき，

$x^3-(cx^2+cx)=x(x-a)^2$

とおける（$x=a$ で重解かつ $x=0$ は明らかに共有点なので）。

展開して係数を比較すると，

$-c=-2a$
$-c=a^2$

これを解くと $(a,c)=(0,0),(-2,-4)$

よって $c=-4,0$

$f(a)=g(a)$ かつ $f'(a)=g'(a)$ という条件を使って解いてみる。

$a^3=ca^2+ca$
$3a^2=2ca+c$

• $a=0$ のとき，$c=0$
• $a\neq 0$ のとき1つめの式より $a^2=ca+c$
  $a=-1$ は不適より $c=\dfrac{a^2}{a+1}$
  これを2つめの式に代入すると
  $3a^2=\dfrac{a^2(2a+1)}{a+1}$
  $3a^3+3a^2=2a^3+a^2$
  $a^3+2a^2=0$
  $a=-2$
  このとき $c=-4$

多項式でないので，$f(a)=g(a)$ かつ $f'(a)=g'(a)$ という条件を使う。

$x=a$ で接するとき，

• $f(a)=g(a)$ より
  $\log a=a^2+c$
• $f'(a)=g'(a)$ より
  $\dfrac{1}{a}=2a$

2つめの式より $2a^2=1$，対数関数の定義域から $a>0$ より $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

これを1つめの式に代入すると

$\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}+c$

$c=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\log 2$