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テトリスのブロックの種類を数える問題

更新日時 2021/03/07

テトリスのブロックの種類を列挙してみます! 数え上げのよい練習問題です。

目次
  • 問題

  • テトリミノ(テトロミノ)は全部で7種類

  • ペントミノは全部で18種類

  • 数え上げに関する教訓

問題

問題1

4つの正方形を辺にそってつなげてできる図形は何種類か(テトリミノの数を数えよ)。

問題2

正方形の数が5つの場合は何種類か(ペントミノの数を数えよ)。

ただし,回転で重なるものは同じものとみなします(折り返しで重なるだけでは同じとはみなさない)。

4ブロックの場合は比較的簡単(1973年の一橋の入試問題!)ですが,5ブロックの場合は数オリの予選の前半とかで出そうなレベルです。

テトリミノ(テトロミノ)は全部で7種類

もれなく重複なく数えるために, 最大直線の長さで場合分けして列挙していきます。

テトリミノは7種類

  • 最大直線の長さ4(1タイプ,1種類)
    I字型(棒)しかない。

  • 最大直線の長さ3(2タイプ,3種類)
    残り1つをどうくっつけるかで3種類。

  • 最大直線の長さ2(2タイプ,3種類)
    長さ3の直線ができないように残り2個をくっつける方法を調べると3種類。

テトリミノは全部で7種類でした!

注:適当に列挙してたまたま7種類当たるのではダメです。全列挙する問題では「全部調べてこれ以外ない」と言い切れるようになりましょう。

ペントミノは全部で18種類

いよいよ5ブロックの場合です! 考え方はテトリミノの場合とほぼ同じですが,最大直線の長さが3のときが厄介なので後回しにします。

5ブロックの場合の列挙

  • 最大直線の長さ5(1タイプ,1種類)
    I字型(棒)しかない。

  • 最大直線の長さ4(2タイプ,4種類)
    残り1つをどうくっつけるかで4種類。

  • 最大直線の長さ2(1タイプ,1種類)
    長さ3以上の直線を作らないようにつなげるのは1種類しかない。

ここから最大直線の長さが3のものを列挙します。長さ3の棒を基準にして残り2つをどうつけるか数えます。全部で8タイプ12種類もあります!

5ブロックの場合2

  • AA の部分を使うもの → 2種類
  • BB の部分を使うもの → 1種類
  • CC の部分を使うもの → 1種類
  • A,B,CA,B,C どれも使わないもの 5ブロックの場合3 残り2つが両方とも上側にくるのが3種類,上と下に1つずつくっつくのが5種類。

ペントミノは全部で18種類でした!

数え上げに関する教訓

  • 一気に全部数えようとしてキツイ場合は,何かの特徴(上の例では最大直線の長さ)で場合分けして数えるともれにくい。

  • 特徴で場合分けしてもなお種類がたくさんあるグループ(上の例ではペントミノ,長さ3の場合)については,さらに別の特徴に注目して場合分けするともれにくい。

ちなみにブロック6個の場合(ヘキサミノ)は60種類あるそうです。

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