【解答・解説】東大理系数学2026 第3問

線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$ の座標を $(X,\ Y ,\ Z)$ で表す。

条件より $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ は $xy$ 平面上にあるため，$\mathrm{P} (x_1, \ y_1 , 0)$，$\mathrm{Q} (x_2,\ y_2, \ 0)$ と表される。それぞれ半径 $5$ の球面上にあるため， $${x_1}^2 + {y_1}^2 = 25\\ {x_2}^2 + {y_2}^2 = 25$$ を満たす。

点 $\mathrm{P}$，点 $\mathrm{Q}$ は異なる2点であるため，中点 $\mathrm{M}$ は端点を除く弦 $\mathrm{PQ}$ 上にある。点 $\mathrm{M}$ は円 $x^2 + y^2 = 25, \ z = 0$ の内部に存在する。つまり．$X^2+Y^2 < 25$ を満たす。逆に $x^2 + y^2 < 25, \ z = 0$ 上の点をとると，それを中点とする弦 $\mathrm{PQ}$ をとることができる。

三角形 $\mathrm{PQR}$ の重心の $z$ 座標が $1$ であるため，$\mathrm{R}$ の $z$ 座標は $3$ になる。また，$\mathrm{R}$ は $S$ 上の点であるため，$x^2 + y^2 = 16,\ z = 3$ 上に存在する。よって，実数 $u \ (0 \leqq u < 2\pi)$ を用いて $\mathrm{R} (4\cos u,\ 4 \sin u,\ 3)$ と表される。

三角形 $\mathrm{PQR}$ の重心 $\mathrm{G}$ が $(2,\ 0 , \ 1)$ であることから $$x_1+x_2 + 4 \cos u = 6\\ y_1+y_2 + 4 \sin u = 0$$ である。よって $X,\ Y, \ Z$ は $$\begin{aligned} X &= \dfrac{x_1+x_2}{2} = 3-2 \cos u\\ Y &= \dfrac{y_1+y_2}{2} = -2 \sin u\\ Z &= 0 \end{aligned}$$ と表される。よって，$\mathrm{M}$ は，中心 $(3,\ 0)$，半径 $2$ の $xy$ 平面上の円周上にある。

このうち $X^2 + Y^2 = 25$ の点を取り除くと点 $\mathrm{M}$ の軌跡は下図になる。

以下，$z = 0$ 上で議論をする。(1) 同様に考えることで $(x,\ y)$ は $x^2+ y^2 \leqq 25$ 及び $(x,\ y) \neq (5,\ 0)$ を満たす。

直線 $\mathrm{OM}$ と直線 $\mathrm{PQ}$ は直交するため，直線 $\mathrm{PQ}$ は $$(3-2\cos u) \{ x-(3-2\cos u) \} - (2\sin u) \{ y+2\sin u\} = 0 \quad\cdots (\ast)$$ と表される。なお，(1) より $\mathrm{M}$ は $(5,\ 0)$ にならないため， $u \neq \pi$ であることに注意する。

以上より次の2つが同値である。

• $(x,\ y)$ は，線分 $\mathrm{PQ}$ の軌跡に入る。
• $(x,\ y)$ は，$x^2+ y^2 \leqq 25$ 及び $(x,\ y) \neq (5,\ 0)$ を満たした上で，$(\ast)$ を満たす実数 $u \ (0 \leqq u < 2\pi , u \neq \pi)$ が存在する。

$u = \pi$ の場合，直線 $\mathrm{PQ}$ の式は $x-5 = 0$ となる。$x^2+ y^2 \leqq 25$ 及び $(x,\ y) \neq (5,\ 0)$ の下で $x - 5 = 0$ を満たす $(x,\ y)$ は存在しない。よって，次の2つが同値であることが分かる。

• $(x,\ y)$ は線分 $\mathrm{PQ}$ の軌跡に入る。
• $(x,\ y)$ は，$x^2+ y^2 \leqq 25$ 及び $(x,\ y) \neq (5,\ 0)$ を満たした上で，$(\ast)$ を満たす実数 $u \ (0 \leqq u < 2\pi)$ が存在する。
  （注→ $u \neq \pi$ を外すことができた）

$(\ast)$ を展開して整理すると $$(x-6) \cos u + y \sin u = \dfrac{3x-13}{2}$$ となる。三角関数の合成により $$\sqrt{(x-6)^2 + y^2} \sin (u + \theta) = \dfrac{3x-13}{2}$$ である。ここで $\theta \ \ ( 0 \leqq \theta < 2 \pi )$ は $$\begin{aligned} \sin \theta &= \dfrac{x-6}{\sqrt{(x-6)^2 + y^2}}\\ \cos \theta &= \dfrac{y}{\sqrt{(x-6)^2 + y^2}}\\ \end{aligned}$$ を満たす。$(x,\ y)$ は中心 $(0,\ 0)$，半径 $5$ の円周の内側に存在するため，$x - 6$ が $0$ になることはない。よって $\theta \neq 0$ である。

$0 \leqq u < 2\pi$ より $\sin (u + \theta)$ は $- 1$ から $1$ までのすべての実数をとり得る。 よって $(x,\ y)$ が $(\ast)$ を満たす実数 $u \ (0 \leqq u < 2\pi)$ が存在することと，$(x,\ y)$ が次の式 $$-1 \leqq \dfrac{3x-13}{2\sqrt{(x-6)^2 + y^2}} \leqq 1$$ を満たすことは同値である。

分子をはらうと $$(3x-19)^2 \leqq 4 (x-6)^2 + 4y^2$$ となる。整理することで $$\dfrac{(x-3)^2}{4} - \dfrac{y^2}{5} \leqq 1$$ を得る。

以上より求める範囲は である。

図示すると以下の斜線部になる。