主客転倒

$X$を命題とし， $$f(X) = \begin{cases} 1 &(X \text{が真の命題})\\ 0 &(X \text{が偽の命題}) \end{cases}$$ とする。

$$\begin{aligned} &a_1+a_2+\cdots+a_{p-1}\\ &= \quad (p+1 \text{の約数のうち} 1 \text{以上} p \text{未満のものの個数})\\ & \quad +(2p+1 \text{の約数のうち} 2 \text{以上} p \text{未満のものの個数})\\ & \quad +\cdots\\ & \quad +((p-1)p+1 \text{の約数のうち} p-1 \text{以上} p \text{未満のものの個数})\\ &=\quad \{f({p+1} \text{が} 1\ \text{を約数にもつ})\\ &\qquad\quad + f({p+1} \text{が} 2 \text{を約数にもつ})\\ &\qquad \quad + \cdots \\ &\qquad\quad + f ({p+1} \text{が} {p-1} \text{を約数にもつ})\}\\ & \quad + \{f({2p+1} \text{が} 2 \text{を約数にもつ})\\ &\qquad\quad + f({2p+1} \text{が} 3 \text{を約数にもつ})\\ &\qquad\quad + \cdots\\ &\qquad\quad +f({2p+1} \text{が} {p-1} \text{を約数にもつ})\} \\ &\quad + \cdots \\ &\quad + f({(p-1)p+1} \text{が} p-1 \text{を約数にもつ})\\ &= \quad f({p+1} \text{が} 1 \text{を約数にもつ})\\ &\quad + \{f({p+1} \text{が} 2 \text{を約数にもつ)}+f({2p+1} \text{が} 2 \text{を約数にもつ)}\}\\ &\quad + \cdots\\ &\quad + \{f({p+1} \text{が} {p-1} \text{を約数にもつ})\\ &\qquad \quad + f({2p+1} \text{が} {p-1} \text{を約数にもつ})\\ &\qquad \quad + \cdots \\ &\qquad \quad +f({(p-1)p+1} \text{が} {p-1} \text{を約数にもつ})\}\\ \end{aligned}$$ ここで，整数の有名な性質「$a,2a,3a\cdots,(b-1)a, ab$ を $b$ で割った余りは$a$と$b$が互いに素なとき全て異なる」（この性質の証明は一次不定方程式ax+by=cの整数解の「定理2の証明」の下側参照）より，$n$を$1$以上$p-1$以下の整数とすると，$p+1, 2p+1, \ldots, np+1$ のうち $n$ の倍数のものはちょうど $1$ つある。よって，上の式の右辺では $1$ を $p-1$ 回足していることになり，答えはp-1となる。