フェルマーの最終定理の一般化

$$x^4+y^4+z^4=w^4$$ を満たす正の整数 $x,y,z,w$ の組は存在しない。

$${x_{1}}^n + {x_2}^n + \cdots + {x_{n-1}}^n = {x_n}^n$$ を満たす正の整数組 $(x_1, x_2 , \cdots , x_n)$ は存在するか？

$a,b,c,x,y,z$ は自然数で $x,y,z \geqq 3$ とする。 $$a^x + b^y = c^z$$ が成立するとき，$a,b,c$ は共通の素因数を持つ。

$a,b,c,x,y,z$ は自然数とする。 $$a^x + b^y = c^z$$ と $$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} < 1$$ を満たし，$a,b,c$ が互いに素で $(a^x,b^y,c^z)$ が異なる解は有限個しかない。