最大値と最小値の分布（一般論と例）

「最大値が $x$ 以下の確率」

＝「$X_1,\dots,X_n$ が全て $x$ 以下になる確率」

$=F(x)\times \dots \times F(x)\\ =F(x)^n$

「最小値が $x$ 以下の確率」

＝「少なくとも1つは $x$ 以下になる確率」

＝１－「全部 $x$ より大きい確率」

$=1-\{1-F(x)\}^n$

小さい方から $k$ 番目が $x$ 以下である確率

＝「$n$ 個のうちちょうど $t$ 個が $x$ 以下である確率」を $t=k$ から $t=n$ まで足し上げたもの

と考える。

上記の累積分布関数を地道に微分すると，

$\displaystyle\sum_{t=k}^n{}_n\mathrm{C}_ttF(x)^{t-1}\{1-F(x)\}^{n-t}f(x)\\ -\displaystyle\sum_{t=k}^n{}_n\mathrm{C}_t(n-t)F(x)^t\{1-F(x)\}^{n-t-1}f(x)\\ =\displaystyle\sum_{t=k}^n\dfrac{n!}{(t-1)!(n-t)!}F(x)^{t-1}\{1-F(x)\}^{n-t}f(x)\\ -\displaystyle\sum_{t=k}^{n-1}\dfrac{n!}{t!(n-t-1)!}F(x)^t\{1-F(x)\}^{n-t-1}f(x)$

となるが，（第1項で $t$ を $t+1$ にすると第2項と一致するので）うまく打ち消し合って，第1項の $t=k$ の項のみが残る。