閏年の判定方法とフェアフィールドの公式

更新 2021/03/07

閏年（うるう年）は400年に97回来るような規則になっている。

閏年の規則

閏年でないときの一年間は365日。閏年だと一年間は366日（2月29日が増える）なのはご存知だと思います。
閏年の判定方法は（グレゴリオ暦では）以下のように決まっています。
規則1：基本的には西暦が4の倍数の年が閏年
規則2：100の倍数のときは例外で閏年でない
規則3：さらに400の倍数のときは例外の例外で閏年である
例12016年は規則1より閏年である。
例22100年は規則2より閏年でない。
例32000年は規則3より閏年である。
基本的に規則1だけ覚えておけば（100年に一回の例外を除いて）閏年が判定できるので，規則1しか知らない人もけっこういます。2000年は400年に一度の「規則3が適用されるレアケース」だったのです！
夏のオリンピックは4の倍数の年に開催されるので，規則1より「ほとんどの場合」オリンピック開催年と閏年は一致します。

閏年の割合

400年周期の規則なので，
400年間に何回閏年が来るか数えてみます。
4の倍数は100回なので規則1だけを考えると閏年は100回来る。
その中で100の倍数は4回なので規則2を考慮すると閏年は100-4=96回来る。
その中で400の倍数は1回なので規則3を考慮すると閏年は96+1=97回来る。
400年に97回来るような規則になっていることが分かります。次に，なぜこのような規則になっているのか説明します。

閏年の回数の算出

以下の二つの情報を元に，閏年をどれくらいの割合で設定すればよいかが計算できます。

太陽暦では太陽が地球の回りを一周する時間（の近似）を1年と定めます。太陽が地球を一周する時間と1年の長さをできるだけ等しくするために閏年を設定します。
太陽が地球を一周するのにかかる時間は約 $365.2422$ 日です。

閏年の割合の算出

閏年の割合を $x$ とおくと，1年の平均日数は $365(1-x)+366x$ になるので

$365(1-x)+366x=365.2422$

これを解くと $x=0.2422$

この割合を達成するために $400$ 回に $97$ 回閏年となるように設定されています。

実際， $\dfrac{97}{400}=0.2425$ となり目標の値とかなり近くなっています。

フェアフィールドの公式

関連した話題として，フェアフィールド(Fairfield)の公式を紹介します。

西暦 $Y$ 年 $M$ 月 $D$ 日は（1年1月1日から数えて）

$365(Y-1)+\lfloor\tfrac{Y}{4}\rfloor -\lfloor\tfrac{Y}{100}\rfloor +\lfloor\tfrac{Y}{400}\rfloor \\+31+28+\lfloor \tfrac{306(M+1)}{10}\rfloor -122 +D$

日目。

ただし，2月29日が「年末」でないと厄介なので，1年は3月から14月までとみなしてから上記の公式を適用します。つまり， $3\leq M\leq 14$ です。

例えば2015年2月4日の場合， $Y=2014,M=14,D=4$ として上式を適用します。

証明の概略

基本的に $(Y-1)$ 年までに経過した年数は $365(Y-1)$ 日。閏年の効果が $\lfloor\tfrac{Y}{4}\rfloor -\lfloor\tfrac{Y}{100}\rfloor +\lfloor\tfrac{Y}{400}\rfloor$
今年に入って， $(M-1)$ 月までに経過した日数が。 $31+28+\lfloor\tfrac{306(M+1)}{10}\rfloor -122$
全部確かめるのはめんどうだが，例えば $M=4$ だとこの値は $31+28+31$ となる。
今月に入ってから $D$ 日目。

まさに雑学って感じです。

Tag:難しめの数学雑学・ネタまとめ

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！