Shapiroの不等式

$$\frac{a}{b+c}=\frac{a^2}{a(b+c)}$$ $$\frac{b}{c+d}=\frac{b^2}{b(c+d)}$$ $$\frac{c}{d+a}=\frac{c^2}{c(d+a)}$$ $$\frac{d}{a+b}=\frac{d^2}{d(a+b)}$$ より，シュワルツの不等式を使うと， $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \ge\\ \frac{(a+b+c+d)^2}{a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)}$$ となる。右辺の分母を整理すると $$a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)\\ =ab+bc+cd+da+2(ac+bd)$$ したがって，以下を示せば十分： $$\frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2(ac+bd)}\ge 2$$ すなわち $$(a+b+c+d)^2 \ge 2\{ab+bc+cd+da+2(ac+bd)\}$$ を示せば良い。左辺−右辺を計算すると $$(a+b+c+d)^2-2\{ab+bc+cd+da+2(ac+bd)\}\\ =(a-c)^2+(b-d)^2\ge 0$$

よって不等式が成立する。等号は $a=c$ かつ $b=d$ のとき。

巡回対称性があるため、変数をズラしても値は変わらない。よって，$a\geq c,d\geq b$ を仮定できる。

（厳密な説明：$a,b,c,d$ を正方形の頂点に順に配置する。 各対角線について、小さい方から大きい方へ矢印を引く。すると必ず、両端が矢印の始点になっている辺が1本存在する。 変数をズラして，その辺が $da$ になるようにする）

この条件のもとで次が成立する： $$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a} \geq \frac{a}{d+c}+\frac{c}{b+a}.$$ (上の不等式の証明：上の式を変形すると $$a \left( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{d+c} \right) \geq c \left( \frac{1}{b+a}-\frac{1}{d+a} \right)$$ 両辺を通分し、分母の積を掛けると $$a(b+a)(d+a) \geq c(b+c)(d+c)$$ であり $a\geq c$ なので成立）

さて，先ほどの不等式を用いると $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b}$$ は以下より大きい： $$\frac{a}{d+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{b+a} + \frac{d}{a+b}\\ =\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{c+d}{a+b}\geq 2$$ （最後の不等号は相加相乗平均の不等式より）