ADのながさわかりますか？

図より、

$$AB=40,\quad AC=24,\quad BC=56$$

また、$AD$ は $\angle BAC$ の二等分線なので、角の二等分線の定理より、

$$BD:DC=AB:AC$$

したがって、

$$BD:DC=40:24=5:3$$

$BC=56$ なので、

$$BD=56\times \frac{5}{8}=35$$

$$DC=56\times \frac{3}{8}=21$$

次に、$A$ から $BC$ に垂線を下ろし、その足を $H$ とします。

$$BH=x$$

とおくと、

$$CH=56-x$$

です。

直角三角形 $ABH$ より、

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

なので、

$$40^2=AH^2+x^2$$

つまり、

$$AH^2=40^2-x^2$$

また、直角三角形 $ACH$ より、

$$AC^2=AH^2+CH^2$$

なので、

$$24^2=AH^2+(56-x)^2$$

ここに

$$AH^2=40^2-x^2$$

を代入します。

$$24^2=40^2-x^2+(56-x)^2$$

計算すると、

$$576=1600-x^2+(56-x)^2$$

$$576=1600-x^2+(3136-112x+x^2)$$

$$576=4736-112x$$

$$112x=4736-576$$

$$112x=4160$$

$$x=\frac{4160}{112}$$

$$x=\frac{260}{7}$$

よって、

$$BH=\frac{260}{7}$$

です。

したがって、

$$DH=BH-BD$$

$$DH=\frac{260}{7}-35$$

$$DH=\frac{260}{7}-\frac{245}{7}$$

$$DH=\frac{15}{7}$$

次に、$AH^2$ を求めます。

$$AH^2=40^2-\left(\frac{260}{7}\right)^2$$

$$AH^2=1600-\frac{67600}{49}$$

$$AH^2=\frac{78400}{49}-\frac{67600}{49}$$

$$AH^2=\frac{10800}{49}$$

最後に、直角三角形 $ADH$ に注目します。

$$AD^2=AH^2+DH^2$$

なので、

$$AD^2=\frac{10800}{49}+\left(\frac{15}{7}\right)^2$$

$$AD^2=\frac{10800}{49}+\frac{225}{49}$$

$$AD^2=\frac{11025}{49}$$

ここで、

$$11025=105^2$$

なので、

$$AD^2=\frac{105^2}{7^2}$$

$$AD=\frac{105}{7}$$

$$AD=15$$

したがって、

$$\boxed{AD=15}$$