直交補空間の性質

直交補空間の性質を見ていきましょう。

直交補空間は部分ベクトル空間になる

直交補空間は実際に部分ベクトル空間になります。

簡単な計算ですが，和とスカラー倍に閉じていることを確認してみましょう。

証明

和に閉じていること
$v , v' \in W^{\perp}$ を任意に取る。 $w \in W$ とする。 $\begin{aligned} &\langle v+v' , w \rangle \\ &= \langle v,w \rangle + \langle v' , w \rangle\\ &= 0 + 0\\ &= 0 \end{aligned}$ これは任意の $w \in W$ で成立するため， $v+v' \in W^{\perp}$ である。
スカラー倍に閉じていること
$v \in W^{\perp}$ ， $a \in \mathbb{C}$ を任意に取る。 $w \in W$ とする。 $\begin{aligned} &\langle av , w \rangle \\ &= a \langle v,w \rangle\\ &= 0 \end{aligned}$ これは任意の $w \in W$ で成立するため， $av \in W^{\perp}$ である。

「補」である意味

直交補空間ということは，字義的に元の空間を補っている必要がありますね。

定理

$V$ を有限次元ベクトル空間とすると $V = W \oplus W^{\perp}$ となる。

証明は少々難しいので後述します。

直交補空間のそのまた直交補空間

次が成立します。

$W \subset (W^{\perp})^{\perp}$
$V$ を有限次元ベクトル空間とすると $W = (W^{\perp})^{\perp}$

$V$ を有限次元ベクトル空間とすると，直交補空間の直交補空間は元の部分空間に戻ります。つまり， $(W^{\perp})^{\perp} = W$ となります。

証明

$w \in W$ を取る。任意の $w' \in W^{\perp}$ について $\langle w',w \rangle = 0$ より $w \in (W^{\perp})^{\perp}$ である。
$W^{\perp}$ もまた $V$ の部分空間であるため，補空間を取ることで， $V = W^{\perp} \oplus (W^{\perp})^{\perp}$ を得る。
一方 $V = W \oplus W^{\perp}$ でもある。ここで 1 番より $W \subset (W^{\perp})^{\perp}$ であった。
次元をそれぞれ比較すると $\begin{aligned} \dim W &= \dim V - \dim W^{\perp}\\ &= \dim (W^{\perp})^{\perp} \end{aligned}$ である。よって $W = (W^{\perp})^{\perp}$ を得る。

包含の逆転と共通部分の逆転

性質

$V$ を内積空間， $W_1 , W_2$ をその部分空間とする。このとき次が成立する。

$W_1 \subset W_2$ であれば $W_1^{\perp} \supset W_2^{\perp}$
$(W_1 + W_2)^{\perp} = W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}$
$(W_1 \cap W_2)^{\perp} = W_1^{\perp} + W_2^{\perp}$

例

これまで紹介してきた性質が実際に成り立つことを確認していきます。
Rn\mathbb{R}^nRn で実際に「直交」することRn\mathbb{R}^nRn と自然な内積（⟨x,y⟩=x1y1+⋯+xnyn\langle x,y \rangle = x_1y_1 + \cdots + x_n y_n⟨x,y⟩=x1​y1​+⋯+xn​yn​ と定義される内積）を考えましょう。
このとき，直交補空間は文字通り直交する集合になります。
例
V=R2V = \mathbb{R}^2V=R2 とします。部分ベクトル空間を
W={(t2t)∣t∈R}
W = \left\{ \begin{pmatrix} t\\ 2t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} \right\}
W={(t2t​)∣t∈R}
と定めます。WWW は y=2xy = 2xy=2x 上の点全体から成ります。
(x,y)∈W⊥(x , y) \in W^{\perp}(x,y)∈W⊥ とすると，(t,2t)∈W(t,2t) \in W(t,2t)∈W に対して
tx+2ty=0
tx + 2ty = 0
tx+2ty=0
となります。ttt は任意であるため x=−2yx=-2yx=−2y を得ます。つまり W⊥W^{\perp}W⊥ は直線 y=−12xy = -\dfrac{1}{2} xy=−21​x 上の点の集合になります。
こうして WWW と W⊥W^{\perp}W⊥ は文字通り直交していますね。
W⊥={(2s−s)∣s∈R}
W^{\perp} = \left\{ \begin{pmatrix} 2s\\ -s \end{pmatrix} \mid s \in \mathbb{R} \right\}
W⊥={(2s−s​)∣s∈R}
と表現されます。これもまたベクトル空間になりますね。
(12)\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}(12​)，(2−1)\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}(2−1​) は R2\mathbb{R}^2R2 の基底を成します。よって R2=W+W⊥\mathbb{R}^2 = W + W^{\perp}R2=W+W⊥ となります。
また W∩W⊥=0W \cap W^{\perp} = 0W∩W⊥=0 であるため R2=W⊕W⊥\mathbb{R}^2 = W \oplus W^{\perp}R2=W⊕W⊥ となります。
この観察から直交補空間は実際に「補う空間」であることも分かりますね。
包含関係V=R3V = \mathbb{R}^3V=R3 としましょう。
W1={(t00)∣t∈R}W2={(t2ss)∣s,t∈R}\begin{aligned}
W_1 &= \left\{ \begin{pmatrix} t\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} \right\}\\
W_2 &= \left\{ \begin{pmatrix} t\\ 2s \\ s \end{pmatrix} \mid s,t \in \mathbb{R} \right\}
\end{aligned}W1​W2​​=⎩⎨⎧​⎝⎛​t00​⎠⎞​∣t∈R⎭⎬⎫​=⎩⎨⎧​⎝⎛​t2ss​⎠⎞​∣s,t∈R⎭⎬⎫​​
とします。これは W1⊂W2W_1 \subset W_2W1​⊂W2​ を満たす部分空間です。
それぞれの直交補空間を計算してみましょう。
t(x,y,z)∈W1⊥{}^t (x,y,z) \in W_1^{\perp}t(x,y,z)∈W1⊥​ とします。
このとき xt=0xt = 0xt=0 です。ttt は任意であるため x=0x=0x=0 となります。よって
W1⊥={(0st)∣s,t∈R}
W_1^{\perp} = \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ s\\ t \end{pmatrix} \mid s,t \in \mathbb{R} \right\}
W1⊥​=⎩⎨⎧​⎝⎛​0st​⎠⎞​∣s,t∈R⎭⎬⎫​
です。
同様に計算すると
W2⊥={(0−t2t)∣t∈R}
W_2^{\perp} = \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ -t\\ 2t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} \right\}
W2⊥​=⎩⎨⎧​⎝⎛​0−t2t​⎠⎞​∣t∈R⎭⎬⎫​
となります。
W1⊥⊃W2⊥W_1^{\perp} \supset W_2^{\perp}W1⊥​⊃W2⊥​ であることが分かりますね。
このように直交補空間を取ると包含が逆転します。
共通部分V=R3V = \mathbb{R}^3V=R3 としましょう。
W1={(t−ss0)∣s,t∈R}W2={(t2ss)∣s,t∈R}\begin{aligned}
W_1 &= \left\{ \begin{pmatrix} t-s\\ s\\ 0 \end{pmatrix} \mid s,t \in \mathbb{R} \right\}\\
W_2 &= \left\{ \begin{pmatrix} t\\ 2s \\ s \end{pmatrix} \mid s,t \in \mathbb{R} \right\}
\end{aligned}W1​W2​​=⎩⎨⎧​⎝⎛​t−ss0​⎠⎞​∣s,t∈R⎭⎬⎫​=⎩⎨⎧​⎝⎛​t2ss​⎠⎞​∣s,t∈R⎭⎬⎫​​
とします。
W1∩W2={(t00)∣t∈R}
W_1 \cap W_2 = \left\{ \begin{pmatrix} t\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} \right\}
W1​∩W2​=⎩⎨⎧​⎝⎛​t00​⎠⎞​∣t∈R⎭⎬⎫​
となります。
先ほどと同様の計算で
W2⊥={(0−u2u)∣u∈R}
W_2^{\perp} = \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ -u\\ 2u \end{pmatrix} \mid u \in \mathbb{R} \right\}
W2⊥​=⎩⎨⎧​⎝⎛​0−u2u​⎠⎞​∣u∈R⎭⎬⎫​
(W1∩W2)⊥={(0uv)∣u,v∈R}
(W_1 \cap W_2)^{\perp} = \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ u\\ v \end{pmatrix} \mid u,v \in \mathbb{R} \right\}
(W1​∩W2​)⊥=⎩⎨⎧​⎝⎛​0uv​⎠⎞​∣u,v∈R⎭⎬⎫​
であることが分かります。
t(x,y,z)∈W1⊥{}^t (x,y,z) \in W_1^{\perp}t(x,y,z)∈W1⊥​ とすると
xt−(x−y)s=0
xt - (x-y)s = 0
xt−(x−y)s=0
を満たします。s,ts,ts,t は任意であるため s=0,t=1s=0,t=1s=0,t=1 を代入すると x=0x = 0x=0，s=1,t=0s=1,t=0s=1,t=0 を代入すると x=yx=yx=y を得ます。
こうして
W1⊥={(00v)∣v∈R}
W_1^{\perp} = \left\{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ v\end{pmatrix} \mid v \in \mathbb{R} \right\}
W1⊥​=⎩⎨⎧​⎝⎛​00v​⎠⎞​∣v∈R⎭⎬⎫​
となります。
これらを比べると (W1∩W2)⊥=W1⊥+W2⊥(W_1 \cap W_2)^{\perp} = W_1^{\perp} + W_2^{\perp}(W1​∩W2​)⊥=W1⊥​+W2⊥​ となることが分かります。

性質の証明

直和になることの証明

証明

$V = W + W^{\perp}$ であること

$v \in V$ を任意に取る。

$l_V : V \to V^{\ast}$ ， $l_W : W \to W^{\ast}$ は同型写像になる。

※ $l_V$ は線型汎関数と双対ベクトル空間で定義したものです。

$l_V (v) \mid_W$ は $W^{\ast}$ の元になる。 $l_W$ は同型を与えるため，ある $w \in W$ があって $l_V (v) \mid_W = l_W (w)$ となる。

このとき，任意の $w' \in W$ に対して $\langle v,w' \rangle = \langle w,w' \rangle$ であり， $\langle v-w , w' \rangle = 0$ である。

$w'$ の取り方は任意であるため， $v-w \in W^{\perp}$ である。

よって $V = W+W^{\perp}$ である。

$W \cap W^{\perp} = \{ 0 \}$ であること

$w \in W \cap W^{\perp}$ を取る。

$w \in W^{\perp}$ であるため， $w' \in W$ に対して $\langle w,w' \rangle = 0$ である。特に $w' = w$ とすると $\langle w,w \rangle = 0$ であるため， $w = 0$ である。

包含関係

証明

$w \in W_2^{\perp}$ を任意に取る。

任意に $v \in W_1$ を取る。 $W_1 \subset W_2$ より $v \in W_2$ でもある。

ゆえに任意の $v \in W_1$ に対して $\langle v,w \rangle = 0$ であるため $w \in W_1^{\perp}$ である。

共通部分

証明

$(W_1 + W_2)^{\perp} \subset W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}$

$W_1, W_2 \subset W_1 + W_2$ であるため， $W_1^{\perp} \supset (W_1 + W_2)^{\perp}$ ， $W_2^{\perp} \supset (W_1 + W_2)^{\perp}$ となる。

よって $(W_1 + W_2)^{\perp} \subset W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}$ である。

$(W_1 + W_2)^{\perp} \supset W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}$

$w \in W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}$ とすると，任意の $v_1 \in W_1$ ， $v_2 \in W_2$ に対して $\langle v_1, w \rangle = 0$ ， $\langle v_2 , w \rangle = 0$ となる。

これより $\langle v_1 + v_2 , w \rangle = 0$ となる。つまり $w \in (W_1 + W_2)^{\perp}$ である。

こうして証明できた。

$(W_1 \cap W_2)^{\perp} = W_1^{\perp} + W_2^{\perp}$ は，上で証明した $(W_1 + W_2)^{\perp} = W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}$ の $W_1$ ， $W_2$ をそれぞれ $W_1^{\perp}$ ， $W_2^{\perp}$ に置き換えることで証明できます。

補足

今回紹介した性質は有限次元のベクトル空間の場合のみ成立するものがいくつかあります。

無限次元の場合は $W = (W^{\perp})^{\perp}$ が成立しない場合があります。

無限次元の場合の例はそのうち記事にするかもしれません。