平均値は二乗誤差最小，中央値は絶対誤差最小

二次関数の最小化問題。平方完成すると， $$\begin{aligned}&f(x)\\&=3x^2-2(a+b+c)x+a^2+b^2+c^2\\ &=3\left(x-\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2+定数\end{aligned}$$ よって，$x=\dfrac{a+b+c}{3}$ のとき最小になる。

絶対値を含む関数の最小化問題。場合分けすると，

• $x\leq a$ のとき $f(x)=-3x+a+b+c$
• $a\leq x\leq b$ のとき $f(x)=-x-a+b+c$
• $b\leq x\leq c$ のとき $f(x)=x-a-b+c$
• $c\leq x$ のとき $f(x)=3x-a-b-c$

グラフは図のような折れ線になる。$x=b$ のとき最小値 $c-a$ となる。

誤差が最小となる $x$ を代表としよう。ただし，誤差とは，ズレの二乗の和 $L(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n(x-x_i)^2$ のこととしよう。

例題1と同様に，$L(x)$ を最小にする $x$ を平方完成 or 微分で計算すると，

$x=\dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$ となる。

つまり，上記赤文字の考え方に基づくと，代表値は平均値とするべき。

誤差が最小となる $x$ を代表としよう。ただし，誤差とは，ズレの大きさの和 $L(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n|x-x_i|$ のこととしよう。

例題2と同様に，$L(x)$ を最小にする $x$ を場合分けで計算すると，

• $n$ が奇数なら，$x=x_{\frac{n+1}{2}}$ のとき
• $n$ が偶数なら，$x_{\frac{n}{2}}\leq x\leq x_{\frac{n+2}{2}}$ のとき

となる。つまり，上記赤文字の考え方に基づくと，代表値は中央値とするべき。

誤差が最小となる $x$ を代表としよう。ただし，誤差とは，一致していないものの数 $L(x)=|\{i\mid x\neq x_i\}|$ のこととしよう。

この考え方に基づくと，代表値は最頻値とするべきです。

誤差が最小となる $x$ を代表としよう。ただし，誤差とは，ズレの二乗の期待値
$L(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(x-t)^2f(t)dt$ のこととしよう。

二乗を展開すると，

$L(x)\\ =x^2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt-2x\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}tf(t)dt+(xに依存しない定数)$

第一項の積分は，確率密度関数の定義より $1$ なので，

$x^2-2x\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}tf(t)dt$ を最小にする $x$ を考えればよい。これは $x$ の二次関数であり，平方完成 or 微分により $x=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}tf(t)dt$ のとき最小になることがわかる。これは平均値（期待値）の定義そのもの。

つまり，上記赤文字の考え方に基づくと，代表値は平均値とするべき。

誤差が最小となる $x$ を代表としよう。ただし，誤差とは，ズレの大きさの期待値 $L(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|x-t|f(t)dt$ のこととしよう。

絶対値の中身の符号で場合分けすると，

$$\begin{aligned}&L(x)\\&=\displaystyle\int_{x}^{\infty}(t-x)f(t)dt+\displaystyle\int_{-\infty}^x(x-t)f(t)dt\\ &=\displaystyle\int_{x}^{\infty}tf(t)dt-x\displaystyle\int_x^{\infty}f(t)dt+x\int_{-\infty}^xf(t)dt-\int_{-\infty}^xtf(t)dt\end{aligned}$$

定積分で表された関数の微分の公式を使って $L(x)$ を $x$ で微分すると，

• 第一項は $-xf(x)$
• 第四項は $-xf(x)$
• 第二項は $-\displaystyle\int_x^{\infty}f(t)dt+xf(x)$
• 第三項は $\displaystyle\int_{-\infty}^xf(t)dt+xf(x)$

よって，導関数は

$L'(x)=-\displaystyle\int_x^{\infty}f(t)dt+\displaystyle\int_{-\infty}^xf(t)dt$

これは，$x$ が小さいときマイナス，中央値（50％点）のとき $0$，大きいときプラスになる。つまり，$x$ が中央値のとき $L(x)$ は最小。

つまり，上記赤文字の考え方に基づくと，代表値は中央値とするべき。