表現行列の観点から見た対角化

$A=\begin{pmatrix} 1&4\\3&2 \end{pmatrix}$ とおく。

線型写像 $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ を $f(x) = Ax$ と定める。

表現行列 $A$ をを対角化する。

固有方程式は $\det \begin{pmatrix} 1-t&4\\3&2-t \end{pmatrix} = t^2 - 3t -10$ より固有値は $5,-2$ である。

それぞれの固有ベクトルは $$v_1 = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\\ v_2 = \begin{pmatrix} 4\\-3 \end{pmatrix}$$ となる。

$v_1, v_2$ は $\mathbb{R}^2$ の基底である。

$$\begin{aligned} f(v_1) &= 5 v_1\\ f(v_2) &= -2 v_2 \end{aligned}$$ より，基底 $\{ v_1,v_2 \}$ から基底 $\{ v_1, v_2 \}$ への $f$ の表現行列は $$\begin{pmatrix} 5&0\\ 0&-2 \end{pmatrix}$$ である。

これを行列の形で表すと $$\begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5&0\\ 0&-2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix}$$ となる。

ここで $P = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ とすると，対角化の式 $$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 5&0\\ 0&-2 \end{pmatrix}$$ が得られる。

$B= \begin{pmatrix} 2&-1&2\\ -1&1&-1\\ -2&1&-2 \end{pmatrix}$ とおく。

線型写像 $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ を $g(x) = Bx$ と定める。

固有方程式は $$\begin{aligned} &|B-tI|\\ &= \begin{vmatrix} 2-t&-1&2\\ -1&1-t&-1\\ -2&1&-2-t \end{vmatrix}\\ &= (2-t)(1-t)(-2-t) -2-2\\ &\qquad + 4(1-t) -(-2-t) + (2-t)\\ &= t^2-t^3 \end{aligned}$$ である。よって固有値は $0,1$ である。

固有値 $1$ の固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$，固有値 $0$ の固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ である。

ここで標準基底から固有ベクトルへ基底を取り換えたいが，2つしかないため固有ベクトルだけでは $\mathbb{R}^3$ を張ることができない。固有値 $0$ の重複度が $2$ であるため，ここの広義固有空間を考える。

すなわち $(A-0 \cdot I) x = v_2$ を満たす元を求める。この解として $v_3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ を取る。

これらの元について $$\begin{aligned} Bv_1 &= 1 \cdot v_1\\ Bv_2 &= 0 \cdot v_2\\ Bv_3 &= 1 \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 \end{aligned}$$ となり，$v_1,v_2,v_3$ は $\mathbb{R}^3$ の基底となる。

以上より基底 $\{ v_1,v_2,v_3 \}$ から基底 $\{ v_1,v_2,v_3 \}$ への $g$ の表現行列は $$\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$ である。

行列の形で表すと $$\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}$$ となる。

$Q = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}$ とすると，ジョルダン標準型への変換 $$Q^{-1} B Q = \begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$ が得られる。