半正多面体と準正多面体

半正多面体では頂点まわりが合同なので，1つの頂点のまわりにある正 $q_i$ 角形たちの並び $(q_1,q_2,...,q_n)$ で表せる。

例えば，立方8面体は $(3,4,3,4)$ と表せる。

• 正 $q$ 角形の1つの内角は $180\times\dfrac{q-2}{q}$ 度であり，1つの頂点に集まる角度の和は $360^{\circ}$ 未満なので， $$\sum_{i=1}^n 180\times\dfrac{q_i-2}{q_i}<360$$ となる。これを整理すると， $$\dfrac{n}{2}-1<\dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}$$ となる。

• 1種類だと正多面体になるので，$(q_1,...,q_n)$ は2種類以上から構成される。

• $n\geqq 6$ だと，1つの頂点に集まる角度が $360^{\circ}$ 以上になるので凸多面体にならない。$n\leqq 2$ でも多面体にならない。

以上の条件を満たす $(q_1,...,q_n)$ をすべて列挙する。

• $n=5$ のとき
  四角形以上を2つ以上使うと集まる角度が $360^{\circ}$ 以上になる。よって，4つは三角形であり，$(3,3,3,3,4),(3,3,3,3,5)$ の2種類。作ってみると，変形立方体と変形12面体になる。

• $n=4$ のとき
  全部四角形以上だと，集まる角度が $360^{\circ}$ 以上になるので，三角形が1つはある。また，1つの三角形の3頂点まわりを全部合同にするには同じ正多角形を $2$ つ以上使う必要がある（図で $q_2,q_3,q_4$ が相異なるとき，$q_4\neq 3$ と仮定できて，3頂点まわりを全部合同にするには $x=q_4,y=q_3$ が必要だが $z$ をどのように決めても3頂点まわりを全部合同にはできない）。 つまり，$q_1=3,q_2=q_4$ とおける。紫文字の制約は， $$1<\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{q_2}+\dfrac{1}{q_3}$$ となる。この式は，

  • $q_2\geqq 4$ なら簡単に全列挙できる。具体的には，$(3,4,3,4)$，$(3,5,3,5)$，$(3,4,4,4)$，$(3,4,5,4)$ の4種類で，それぞれ立方8面体，二十・十二面体，斜方立方8面体(※)，斜方二十・十二面体ができる。
  • $q_2=3$ とすれば $q_3$ は何でもOK。$(3,3,3,n)$ という無数の解ができるが，これは反角柱なので例外（半正多面体ではない）。

• $n=3$ で奇数角形を使う場合
  $q_1$ を奇数とする。1つの $q_1$ 角形の頂点まわりを全部合同にするには $q_2=q_3$ が必要。

  • $q_1=5$ の場合，$q_2=q_3=4$ だと正5角柱で例外。$q_2=q_3=6$ だと切頂20面体
  • $q_1=3$ の場合，$q_2=q_3=4$ だと正3角柱で例外。$q_2=q_3=6$ だと切頂4面体，$q_2=q_3=8$ だと切頂6面体，$q_2=q_3=10$ だと切頂12面体，

• $n=3$ で奇数角形を使わない場合
  全部6角形以上だと，集まる角度が $360^{\circ}$ 以上になるので，四角形を1つは使う必要がある。 $q_1=4$ とする。

  • $q_2=4$ のとき，$q_3$ は何でもOK。無限個解ができるが，これは角柱なので例外。
  • $q_2=6$ のとき，$q_3=6$ だと切頂8面体，$q_3=8$ だと斜方切頂立方8面体，$q_3=10$ だと斜方切頂二十・十二面体
  • $q_2$ も $q_3$ も $8$ 以上だと集まる角度が $360^{\circ}$ 以上になる。