統計学における推定の考え方（点推定，区間推定）

「母集団の特徴を推定する」をもう少し詳しく言うと， 母集団の平均や分散など，分布を表現するパラメータの値を予想するとなります。

値の予測の仕方によって「点推定」と「区間推定」という手法に分けることができます。

（図は値の平均の推定を表す。）

以下，点推定と区間推定の具体例についてそれぞれ詳しく解説します。

普通は 「$100$ 人の身長の平均と分散を全体の平均と分散とみなそう」と考えますね。実は（推定量が不偏かどうかという観点で見ると）平均はOKで分散は厳密にはNGです。

→不偏標本分散の意味とn-1で割ることの証明

注：推定量の良さの数学的な表現には「不偏性」だけでなく「有効性」や「一致性」などもあります。

注： $100$ 人をランダムに選出する必要があります。同じ地域からまとめて取ったりしたら偏る可能性があります。

次は区間推定です。さきほどの例より数学色が濃いです。

おそらく $\mu$ は $3$ あたりでしょう（点推定）。では $2$ や $4$ になりうるのか，そんなことはほぼありえないのか？というところまで考えるのが区間推定です。

詳細は省略しますが，正規分布の性質と正規分布表より，$P(-1.65\leq 10(3-\mu) \leq 1.65)=0.9$ が分かります。つまり，$P(2.835\leq \mu \leq 3.165)=0.9$ となり， $\mu$ は $2.835$ から $3.165$ の間にありそうと推定できます。

上記の結果は統計学の言葉で言うと「 $\mu$ に対する $90$ ％信頼区間は $[2.835,3.165]$ である」と言います。ここで決めた $90$ ％という数字は信頼水準と呼ばれ，別の値にすることもできます（自分で好きに決められる）。

信頼水準を大きくする（外れる確率が小さくなる）と信頼区間は広がり（推定が甘くなる），信頼水準を小さくすると信頼区間は狭くなります。外れる確率を下げたいのか，鋭い推定をしたいのか，トレードオフです。

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