統計学における推定の考え方(点推定,区間推定)

更新日時 2021/03/07

統計学における推定

  • (専門用語で)標本集団から母集団の特徴を推定すること
  • (意訳)一部のデータの特徴から全体の特徴を予想すること

統計といえば推定と検定。その1つ,推定の基本的な考え方について解説します。

目次
  • 点推定と区間推定

  • 点推定

  • 区間推定

  • 信頼区間

点推定と区間推定

「母集団の特徴を推定する」をもう少し詳しく言うと, 母集団の平均や分散など,分布を表現するパラメータの値を予想するとなります。

推定の考え方

値の予測の仕方によって「点推定」と「区間推定」という手法に分けることができます。

(図は値の平均の推定を表す。)

  • 点推定:値をピンポイントで推定
  • 区間推定:値を「この幅の間におそらくいる!」という区間で推定

点推定

以下,点推定と区間推定の具体例についてそれぞれ詳しく解説します。

とある国には小学6年生が 100100 万人(母集団)いる。この 100100 万人の身長の平均値(とついでに分散も)を知りたい。しかし, 100100 万人の身長を測るのは大変なので,代表して 100100 人(標本集団)の身長を測り,そのデータをもとに平均と分散を推定したい,どうすればよいか。

普通は 100100 人の身長の平均と分散を全体の平均と分散とみなそう」と考えますね。実は(推定量が不偏かどうかという観点で見ると)平均はOKで分散は厳密にはNGです。

理由
  • 「標本集団の平均」の期待値と「母集団の平均」は等しい。
  • 「標本集団の分散」の期待値と「母集団の分散」はわずかに異なる。

→不偏標本分散の意味とn-1で割ることの証明

注:推定量の良さの数学的な表現には「不偏性」だけでなく「有効性」や「一致性」などもあります。

注: 100100 人をランダムに選出する必要があります。同じ地域からまとめて取ったりしたら偏る可能性があります。

区間推定

次は区間推定です。さきほどの例より数学色が濃いです。

平均が μ\mu ,分散が 11 である正規分布から 100100 個の標本を抽出したところ,平均が 33 であった。 μ\mu を区間推定せよ。

おそらく μ\mu33 あたりでしょう(点推定)。では 2244 になりうるのか,そんなことはほぼありえないのか?というところまで考えるのが区間推定です。

詳細は省略しますが,正規分布の性質と正規分布表より,P(1.6510(3μ)1.65)=0.9P(-1.65\leq 10(3-\mu) \leq 1.65)=0.9 が分かります。つまり,P(2.835μ3.165)=0.9P(2.835\leq \mu \leq 3.165)=0.9 となり, 9090 %の確率で μ\mu2.8352.835 から 3.1653.165 の間にあると推定することができます。

信頼区間

上記の結果は統計学の言葉で言うと「 μ\mu に対する 9090 %信頼区間は [2.835,3.165][2.835,3.165] である」と言います。ここで決めた 9090 %という数字は信頼水準と呼ばれ,別の値にすることもできます(自分で好きに決められる)。

信頼水準を大きくする(外れる確率が小さくなる)と信頼区間は広がり(推定が甘くなる),信頼水準を小さくすると信頼区間は狭くなります。外れる確率を下げたいのか,鋭い推定をしたいのか,トレードオフです。

私は点推定の方が潔くて好きです。

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