入試数学コンテスト第6回第1問解答解説

$n$ 回目の操作でAさんが勝者となる確率を $p_n$ とする。

• 1回目

必ず1回目はAさんが投げるため，サイコロを1回投げて6が出る確率を求めればよい。よって，$p_1 = \dfrac{1}{6}$ である。

• 2回目

2回目の操作は，かならずAさん以外が行うため $p_2=0$ である。

• 3回目

3回目の操作をAさんが行うためには，$1$ 回目の操作で $6$ 以外が出て，$2$ 回目の操作で サイコロがAさんにわたるような出目が出る必要がある。

Aさんに回るまでに6の倍数人分サイコロが進まなければならない。2回サイコロが投げられたとき，サイコロの出目の和が6の倍数となるのは，$6$ か $12$ となる2通りがある。しかし，$12$ が出るためには $6$ が2回出ることになり，これは不適である。

こうして2回のサイコロの出目の和が $6$ となることがわかる。この場合，1回目の出目から2回目に出なければならない目は1通りしかない。

したがって $p_3=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{216}$ である。

最終的にAさんが勝つ確率を $P$，最終的にAさん以外が勝つ確率を $Q$ とおく。

最終的に誰か1人は勝利することから $$P+Q = 1$$ である。

XをB,C,D,E,Fのいずれかとする。

$n (\geqq 2)$ 回目以降にXさんが勝つ出目から次の方法により，$n+1$ 回目以降にAさんが勝つ出目を対応させることができる。

1. $n$ 回目にXさんが出す目を $6$ から次にAさんにサイコロがわたる出目に変える。
2. $n+1$ 回目に出す目を $6$ とする。

Xさんが勝つにサイコロの目の出方を1つ固定する。サイコロがそのような目を出す確率を $p$ としたとき，上記の方法で対応付けられるAさんが勝つサイコロの目の出る確率は $\dfrac{1}{6} p$ である。

逆に3回目以降にAさんが勝つ出目から上記の方法を逆にたどることで，Aさん以外が勝つ出目が対応付けられる。したがってAさんが3回目以降に勝つ確率は $\dfrac{1}{6}Q$ である。

1回目にAさんが勝利する確率 $\dfrac{1}{6}$ と合わせることで次の式が成り立つ。

$$P = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}Q$$

こうしてで次の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} P + Q =1\\ P = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} Q \end{cases}$$

これを解くことで $P=\dfrac{2}{7}$ を得る。

$n$ 回目にAさんがサイコロを振る確率を $q_n$ とする。

$n+1$ 回目にAさんにサイコロがわたっているためには，$n$ 回目にAさん以外の人がサイコロを振り，Aさんにわたるような出目がでる必要がある。

$n$ 回目にいずれかの人がサイコロを振る確率はいままでに一度も $6$ が出ない確率と等しい。 すなわち $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}$ である。よって $n$ 回目にAさん以外がサイコロを投げる確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}-q_n$ である。

こうして漸化式 $$q_{n+1}=\dfrac{1}{6}\left(\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}-q_n\right)$$ が成りたつ。辺々に $\left( \dfrac{6}{5} \right)^{n+1}$ をかけると $$\left( \dfrac{6}{5} \right)^{n+1} q_{n+1} = \dfrac{1}{6} \left( \dfrac{36}{25} - \dfrac{6}{5} \left( \dfrac{6}{5} \right)^{n} q_n \right)$$ が得られる。

$r_n = \left( \dfrac{6}{5} \right)^n q_n$ とおくことで $$r_{n+1} = \dfrac{6}{25} - \dfrac{1}{5} r_n$$ が得られる。なお $$r_1 = \dfrac{6}{5} q_1 = \dfrac{6}{5} \cdot 1 = \dfrac{6}{5}$$ である。

$$\begin{aligned} r_{n+1} - \dfrac{1}{5} &= -\dfrac{1}{5} \left( r_n - \dfrac{1}{5} \right)\\ r_n - \dfrac{1}{5} &= \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \left( r_1 - \dfrac{1}{5} \right)\\ &= \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \left( \dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{5} \right)\\ r_n &= \dfrac{1}{5} + \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \end{aligned}$$

こうして $$\begin{aligned} q_n &= \left( \dfrac{5}{6} \right)^n r_n\\ &= \left( \dfrac{5}{6} \right)^n \left\{ \dfrac{1}{5} + \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \right\}\\ &= \dfrac{1}{5} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n - 5 \left( - \dfrac{1}{6} \right)^n \end{aligned}$$ が得られる。$p_n=\dfrac{q_n}{6}$ であるから $$p_n=\dfrac{1}{30} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n - \dfrac{5}{6} \left( - \dfrac{1}{6} \right)^n$$ である。

総和をとることで $$\begin{aligned} &\lim_{n\to \infty}\sum _{k=1}^n p_k\\ &=\lim_{n\to \infty}\sum _{k=1}^n \left\{ \dfrac{1}{30} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n - \dfrac{5}{6} \left( - \dfrac{1}{6} \right)^n \right\}\\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{1- \dfrac{5}{6}} - \dfrac{5}{6} \cdot \left( - \dfrac{1}{6} \right) \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6}}\\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot 6 - \dfrac{5}{6} \cdot \left( - \dfrac{1}{6} \right) \cdot \dfrac{6}{7}\\ &= \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{42}\\ &= \dfrac{12}{42} = \dfrac{2}{7} \end{aligned}$$ が得られる。