入試数学コンテスト第6回第2問解答解説

$\mathrm{AD} \perp \mathrm{EF}$ より，求める値は $0$ となる。

$\mathrm{C,P,F}$ はこの順に同一直線状にある。ゆえに正の実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{FP}} = k \overrightarrow{\mathrm{FC}}$ と表すことができる。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} &= \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{EP}} + \overrightarrow{\mathrm{PF}})\\ &= \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}} &(\mathrm{AB} \perp \mathrm{PF})\\ &= (\overrightarrow{\mathrm{BE}} + \overrightarrow{\mathrm{EA}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}\\ &= \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}} &(\angle \mathrm{AEP} = 90^{\circ})\\ &= \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}})\\ &= \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FP}} &(\mathrm{BE} \perp \mathrm{EF})\\ &= \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot k \overrightarrow{\mathrm{FC}}\\ &= -\overrightarrow{\mathrm{EB}} \cdot k \overrightarrow{\mathrm{EB}} &(\mathrm{EB} = \mathrm{FC} , \mathrm{EB} /\!/ \mathrm{FC})\\ &= -k |\overrightarrow{\mathrm{EB}}|^2 <0 \end{aligned}$$

こうして $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} <0$ が得られた。これにより $$\cos \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\overrightarrow{|\mathrm{BA}}| |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|} <0$$ だとわかる。よって $\angle \mathrm{ABC}$ は鈍角であり，$\angle \mathrm{ABC}$ と向かい合う辺 $\mathrm{AC}$ が三角形 $\mathrm{ABC}$ の最大辺である。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{\mathrm{DA}}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{\mathrm{FP}}} &= \overrightarrow{\mathrm{\mathrm{EB}}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{\mathrm{FP}}}&(\mathrm{BE}/\!/\mathrm{AD})\\ &= -\overrightarrow{\mathrm{\mathrm{BE}}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{\mathrm{FP}}}\\ &= - \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} &((2)\;\text{の計算}) \end{aligned}$$

三角形 $\mathrm{ABC}$ について，余弦定理から $$\mathrm{CA}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 -2\mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \cos \angle \mathrm{ABC}$$ である。(2) より $\mathrm{CA} = \sqrt{34}$ である。$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$ のどちらが $2$，$5$ となることによらず。$\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 = 2^2 + 5^2$ である。

加えて $\mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} = |\mathrm{AB}| | \mathrm{BC}| \cos \angle \mathrm{ABC}$ を代入すると次の式が得られる。 $$34 = 29 - 2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC}$$

こうして $\mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} = - \dfrac{5}{2}$ となり，$|\overrightarrow{\mathrm{DA}}||\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=\dfrac{5}{2}$が従う。

三角形 $\mathrm{AEP}$ は直角二等辺三角形である。$\mathrm{EA}=\mathrm{EP}=x$ とおく。

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{DA}}||\overrightarrow{\mathrm{FP}}| &= \sqrt{\mathrm{EA}^2 - \mathrm{ED}^2} \sqrt{\mathrm{EP}^2 - \mathrm{EF}^2}\\ &= \sqrt{x^2-4}\sqrt{x^2-25}=\dfrac{5}{2} \end{aligned}$$ となる。

辺々を2乗して整理すると $$(x^2-4)(x^2-25) = \dfrac{25}{4}\\ 4 x^4 - 116 x^2 + 375=0$$ であり，これを解くと $$\begin{aligned} x^2 &= \dfrac{58 \pm \sqrt{58^2 - 4 \cdot 375}}{4}\\ &= \dfrac{58 \pm 2 \sqrt{29^2 - 375}}{4}\\ &= \dfrac{29 \pm \sqrt{466}}{2} \end{aligned}$$

$\mathrm{AE}$ は $\mathrm{DE}$，$\mathrm{EF}$ どちらよりも大きいため $x \geqq 5$ すなわち $x^2 \geqq 25$ であるため $x^2=\dfrac{29+\sqrt{466}}{2}$ を得る。

三角形 $\mathrm{AEP}$ の面積を $S$ とおく。 $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2} \mathrm{EA} \cdot \mathrm{EP}\\ &=\dfrac{1}{2} x^2\\ &=\dfrac{29+\sqrt{466}}{4} \end{aligned}$$ となる。