数学の質問です。

問題集で命題 $p \Rightarrow q$ の証明方法として背理法を用いて、 $p \land \bar{q}$ を仮定して矛盾を導くとあったのですが、なぜ $p \land \bar{q}$ を仮定して矛盾を導くことで命題 $p \Rightarrow q$ を証明できるのでしょうか？ $p \land \bar{q}$ を仮定し、矛盾が現れたと言うことは $p \land \bar{q}$ と言う仮定が間違って居ると言うことは分かるのですが、つまりそれは $p \land q$ と言う仮定が正しいと言うことですよね？ $p \land q$ と言う仮定が正しいことと命題 $p \Rightarrow q$ が真であることはどのような関係にあるのでしょうか？「 $p \land q$ と言う仮定が正しいならば命題 $p \Rightarrow q$ は真である」となるのでしょうか？

回答宜しく願います。

回答 1件

ベストアンサー

DoubleExpYui 2023/7/28

$p\land \bar{q}$ を仮定し矛盾を示すとは、 $p$ が真にも関わらず $\bar{q}$ が真であるものが存在しない、ということです。

命題は集合論と深く関係しています。

命題 $p$ を満たす集合を $P$ , 命題 $q$ を満たす集合を $Q$ とします。

このとき、集合 $P$ の元がすべて集合 $Q$ に含まれる、つまり $P\subset Q$ であるとき、「 $P\Rightarrow Q$ が真である」といいます。

背理法とは、矛盾を示すことで $P\cap \bar{Q}=\phi$ つまり $P\subset Q$ であることを示す証明方法です。

補足

訂正

誤：「 $P\Rightarrow Q$ 」が真である

正：「 $p\Rightarrow q$ 」が真である

kakko_pn 2023/7/27

（ $p$ 、 $q$ を満たす集合をそれぞれ $P$ 、 $Q$ とする。）
$p \Rightarrow q$ を示したい。つまり $P \subset Q$ を示せば良い。そして $P \subset Q$ ならば $P \cap \bar{Q}=\emptyset$ である。そして $P \cap \bar{Q}$ を満たす集合は存在しないから、 $p \land \bar{q}$ として議論を進めると矛盾が起こる。
（これを逆に辿ると） $p \Rightarrow q$ に於いて、 $p \land \bar{q}$ として議論を進めて矛盾が起これば $p \Rightarrow q$ だと言える。
こんな感じの認識で合って居ますか？
DoubleExpYui 2023/7/28

概ねその認識で問題ないです。
正確には「 $P\cap\bar{Q}$ に含まれる元が存在しない」「 $p \Rightarrow q$ が真である」です。

命題は、迷ったら集合論に立ち返ると見えてきたりするので、集合論とセットで考える癖をつけるといいかと思います。
kakko_pn 2023/7/28

ありがとうございます！理解できました！
因みに、もう1つ質問させて下さい。
$\sqrt{○}$ が無理数であることを証明せよと言う時の $p \Rightarrow q$ の $p$ に当たる部分は何でしょうか？
DoubleExpYui 2023/7/28

その場合はまた別で、命題 $p\Rightarrow q$ ではなく単純に命題 $p$ ですね。

補足
例えば「2は偶数である」と「 $x$ が偶数ならば $x^2$ は偶数である」の違いですね
kakko_pn 2023/7/29

そうなんですね！ありがとうございました！
kakko_pn 2023/7/29

お礼

ありがとうございます！

数学の質問です。

回答 1件

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