この一般項から3項間漸化式を作れる方はいないでしょうか？第一回京大オープン6の問題で、誰かがこの問題を、自ら漸化式を作ってささっと解いてた記憶があって、、、、思い出せず、式変形もよくわからないのでお願いします🤲

左の方は、$\alphaと\betaの$関係をうまく利用して解きます。条件から$\alpha\beta=1$と分かり、$\beta$に揃えて考えます。$(aと\alphaが分かりにくいから)$

すると,

$$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\beta^{2^n}}-\beta^{2^n}\right)$$

となり、逆数同士の関係があるのでこれを2乗してみます。

$$a^2_n=\dfrac{1}{2}\left(\frac{1}{\beta^{2^{n+1}}}+\beta^{2^{n+1}}-2\right)\\2(a^2_n+1)=\frac{1}{\beta^{2^{n+1}}}+\beta^{2^{n+1}}$$

すると今度は右の方が和と差の積の片割れのようになっているので、丁度いい

$a_{n+1}$を両辺に掛けると

$$2a_{n+1}(a^2_n+1)=\left( \frac{1}{\beta^{2^{n+1}}}+\beta^{2^{n+1}} \right)\left( \frac{1}{\beta^{2^{n+1}}}-\beta^{2^{n+1}} \right)=\frac{1}{\beta^{2^{n+2}}}-\beta^{2^{n+2}}=a_{n+2}$$

$(\sqrt{2}はすぐ消えるので書いていません)$

となり、漸化式

$$2a_{n+1}(a^2_n+1)=a_{n+2}$$

が導かれます。これが分かれば、おそらく証明もササっといけますね