解決済み

ムーアヘッドの不等式を利用して3変数の相加・相乗平均不等式を示したいです。


数列{x}がx,y,zとなるとして、

恐らく、[a]=[1,0,0]、[b]=[1/3,1/3,1/3]とすればムーアヘッドの不等式が使えると思うのですが、相乗平均の方の三乗根の係数が6になってしまいませんか?相加・相乗平均ならこれが3になるはずなので、なぜ違ってしまうのかよく分かりません。

解説お願いします…!

ベストアンサー

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「Muirheadの不等式と具体例」という以下の記事を読み、初めてムーアヘッドの不等式を理解した者です。

https://manabitimes.jp/math/605


以下のように考えると、相加平均・相乗平均をうまく示せます。


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[質問者さんの誤解(おそらく)]

n=3,a=[1,0,0],b=[13,13,13]n=3, a=[1,0,0], b=[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}] とすると


symxsymxyz3    x+y+x6xyz3\sum_{\mathrm{sym}} x \geq \sum_{\mathrm{sym}} \sqrt[3]{xyz} \\\iff x + y + x \geq 6 \sqrt[3]{xyz}


どうして右辺の係数が6なのかということだと思います。

実際は以下のようではないでしょうか?


________________


[正解]

n=3,a=[1,0,0],b=[13,13,13]n=3, a=[1,0,0], b=[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}] とすると


symx1y0z0symxyz3    x1y0z0+x1z0y0+y1x0z0+y1z0x0+z1x0y0+z1y0x06xyz3    x+y+z3xyz3\sum_{\mathrm{sym}} x^1 y^0 z^0 \geq \sum_{\mathrm{sym}} \sqrt[3]{xyz} \\\iff x^1 y^0 z^0 + x^1z^0 y^0 +y^1 x^0 z^0 + y^1 z^0 x^0 + z^1 x^0 y^0 + z^1 y^0 x^0 \geq 6 \sqrt[3]{xyz} \\\iff x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz}


左辺の項を足すときに n=3n=3 を意識するということだと思いました。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

相加平均側が2(x+y+z)となって両辺2で割るんですね!スッキリしました!ご丁寧にありがとうございました!

これ、変数を増やしても出来るの凄いですね!

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