ムーアヘッドの不等式を利用して3変数の相加・相乗平均不等式を示したいです。

「Muirheadの不等式と具体例」という以下の記事を読み、初めてムーアヘッドの不等式を理解した者です。

→https://manabitimes.jp/math/605

以下のように考えると、相加平均・相乗平均をうまく示せます。

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[質問者さんの誤解（おそらく）]

$n=3, a=[1,0,0], b=[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}]$ とすると

$$\sum_{\mathrm{sym}} x \geq \sum_{\mathrm{sym}} \sqrt[3]{xyz} \\\iff x + y + x \geq 6 \sqrt[3]{xyz}$$

どうして右辺の係数が6なのかということだと思います。

実際は以下のようではないでしょうか？

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[正解]

$n=3, a=[1,0,0], b=[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}]$ とすると

$$\sum_{\mathrm{sym}} x^1 y^0 z^0 \geq \sum_{\mathrm{sym}} \sqrt[3]{xyz} \\\iff x^1 y^0 z^0 + x^1z^0 y^0 +y^1 x^0 z^0 + y^1 z^0 x^0 + z^1 x^0 y^0 + z^1 y^0 x^0 \geq 6 \sqrt[3]{xyz} \\\iff x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz}$$

左辺の項を足すときに $n=3$ を意識するということだと思いました。