$$n\geqq2 において、\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-\dfrac{1}{2n}>0$$

自分はいったん、

$$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-\dfrac{1}{2x}$$

と定義してこの関数$(x≧2)$がどのような様子なのかを把握しました。

$$f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2x^2}$$

$$=2\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x(x+1)}}+\dfrac{1}{2x^2}$$

$x≧2より、　　f'(x)>0　と分かります$

さらに、

$$f(2)=\sqrt{3}-\sqrt{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\dfrac{1}{4}$$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}<4$より、　$f(2)>0$

したがって、$f(x)は単調増加関数であり　既定の範囲で常にf(x)>0$がいえるので、命題は証明されたことになると思います

ーー万が一誤植等あれば教えていただけると助かりますーー

$$\begin{aligned}&\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-\dfrac{1}{2n}>0 \\\iff &2n\sqrt{n+1}>2n\sqrt{n}+1 \\\iff &4n^2(n+1)>4n^3+4n\sqrt{n}+1 \\\iff &4n^2-1>4n\sqrt{n} \\\iff &16n^4-16n^3-8n^2+1>0 \\\iff &8n^2(2n^2-2n-1)+1>0\end{aligned}$$

から示せそうですね。

根号を含む等式・不等式では、複数回 $2$ 乗することで外れることが多いので、大きすぎる値にならない場合は強行突破するのもありです。

両辺がともに正であることに言及するのをお忘れなく。