高校数学におけるargの扱いについて、

$$「\arg z\ は実数」 \iff 「ある整数\ k\ に対して\ \arg z = k\pi\ が成立」$$

という解釈で正しいです。

模範解答では整数 $k$ の不定性を無視して推論を進めているようにも見えますが，実のところこれで厳密に議論できています。

いま原点まわりに $9\pi/4$ 回転してから，さらに $7\pi/2$ 回転することを考えてみます。合計でどれだけ回転したかは

$$\frac{9}{4}\pi + \frac{7}{2}\pi = \frac{23}{4}\pi$$

で与えられます。もっとも，$2\pi$ 回転しても元の位置に戻ってくるだけなので，$2\pi$ の整数倍の回転は無視できて

$$\frac{23}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi + 2 \cdot 2\pi \equiv \frac{7}{4}\pi$$

が本質的な回転量になります。ここで $\equiv$ という記号は「$x,y$ が $2\pi$ の整数倍の違いを除いて等しい」の意味で，より形式的には

$$x \equiv y \iff 「ある整数\ k\ に対して\ x = y + 2k\pi\ が成立」$$

と定義されます。

偏角を扱うときはこの「$2\pi$ の整数倍の違いを除いた世界」で考えるのが自然です。$2\pi$ の整数倍の違いを除くということは，どんな角度であっても，ある $[0,2\pi)$ の範囲に属する角度と同一視できるということです。その $[0,2\pi)$ の範囲からとった値のことを主値といいます。

（$[0,2\pi)$ ではなく $(-\pi,\pi]$ の範囲から主値をとってもよいです。）

「$\arg z$ は実数」という条件は

$$\arg z \equiv 0, \pi$$

と書くこともできれば，あるいは主値をとって

$$\arg z = 0, \pi$$

と書くこともできます。模範解答では主値をとって議論しているものと解釈する，もしくは模範解答中に現われる等号を適切に $\equiv$ に読み換えることで，厳密な議論になります。

（ひとつ補足すると模範解答中

$$\arg \frac{\gamma}{\alpha} + \arg\frac{\alpha\beta - \gamma\alpha}{\beta\gamma - \gamma\alpha} = \pm \pi$$

の箇所の $\pm$ は要りません。$\pi \equiv -\pi$ であって $2$ つの違いは無視してよいからです。）