シグマの有限和とインテグラルが交換できるのは何故ですか？高校生で理解できる方法があればお願いします。

高校生だと積分の定義は大体リーマン積分だと思います。

★区間$a\leqq x \leqq b$で関数$f(x)$を積分することを考える。

このとき、区間$a\leqq x \leqq b$を$n$等分した点を$a=x_0,b=x_n$として$x_0,\cdots,x_n$とすると、

$$\int^b_af(x)dx=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f(x_i)$$

である。★

ここまではわかるでしょうか？

さて、では積分$$\int^b_a\sum_{j=0}^mf_j(x)dx$$

を考えます。

積分の定義から$$f(x) \to \sum_{j=0}^mf_j(x)dx$$

としてやれば

$$\int^b_a\sum_j^mf_i(x)dx=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}\left( \sum_{j=0}^mf_j(x_i)\right)$$

となります。

さて、和の極限は極限の和と等しい。つまり、$$\lim(f(x)+g(x))=\lim f(x)+\lim g(x)$$でしたので、$j$に関する和は極限と順序交換出来て、

$$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}\left( \sum_{j=0}^mf_j(x_i)\right)=\sum_{j=0}^m\left(\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n} f_j(x_i)\right)$$

です。

よって、再び積分の定義に戻って()内の極限を積分表示にしてやると、

$$\sum_{j=0}^m\left(\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n} f_j(x_i)\right)=\sum_{j=0}^m\int^b_af_j(x)dx$$

すなわち、

$$\int^b_a\sum_{j=0}^mf_j(x)dx=\sum_{j=0}^m\int^b_af_j(x)dx$$

となり、和と積分の順序交換が出来ました。

どうでしょうか。理解できそうですか？