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シグマの有限和とインテグラルが交換できるのは何故ですか?高校生で理解できる方法があればお願いします。

ベストアンサー

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高校生だと積分の定義は大体リーマン積分だと思います。


★区間axba\leqq x \leqq bで関数f(x)f(x)を積分することを考える。

このとき、区間axba\leqq x \leqq bnn等分した点をa=x0,b=xna=x_0,b=x_nとしてx0,,xnx_0,\cdots,x_nとすると、

abf(x)dx=limni=0n1banf(xi)\int^b_af(x)dx=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f(x_i)

である。★


ここまではわかるでしょうか?


さて、では積分abj=0mfj(x)dx\int^b_a\sum_{j=0}^mf_j(x)dx

を考えます。


積分の定義からf(x)j=0mfj(x)dxf(x) \to \sum_{j=0}^mf_j(x)dx

としてやれば

abjmfi(x)dx=limni=0n1ban(j=0mfj(xi))\int^b_a\sum_j^mf_i(x)dx=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}\left( \sum_{j=0}^mf_j(x_i)\right)

となります。


さて、和の極限は極限の和と等しい。つまり、lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)\lim(f(x)+g(x))=\lim f(x)+\lim g(x)でしたので、jjに関する和は極限と順序交換出来て、

limni=0n1ban(j=0mfj(xi))=j=0m(limni=0n1banfj(xi))\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}\left( \sum_{j=0}^mf_j(x_i)\right)=\sum_{j=0}^m\left(\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n} f_j(x_i)\right)

です。


よって、再び積分の定義に戻って()内の極限を積分表示にしてやると、

j=0m(limni=0n1banfj(xi))=j=0mabfj(x)dx\sum_{j=0}^m\left(\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n} f_j(x_i)\right)=\sum_{j=0}^m\int^b_af_j(x)dx

すなわち、

abj=0mfj(x)dx=j=0mabfj(x)dx\int^b_a\sum_{j=0}^mf_j(x)dx=\sum_{j=0}^m\int^b_af_j(x)dx

となり、和と積分の順序交換が出来ました。


どうでしょうか。理解できそうですか?


補足

16行目訂正

誤:「和の極限は極限の和と等しい。」

正:「極限が収束するとき、和の極限は極限の和と等しい。」


積分を考えるので、まぁ収束しますが。定義はしっかり書かないといけませんので訂正しておきます。

質問者からのお礼コメント

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ありがとうございます。大変助かりました

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