• 解決済み

    @Io_oI

    2021/9/24 19:50

    2 回答

    この式を見たことがあるという方はいらっしゃいますか。(偶然見つけた式です)

    n!=∑k=1n(−1)n−knCkknn!=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} {_n}C_k k^n

    学校や塾の先生にこの式のことを尋ねたところ、「見たことある気がするけど思い出せない」と仰っていたのが気になっています。

    自分でできる限り調べてみましたが、すでに知られているものなのかどうか分かりませんでした。

    ご存知の方がいれば、どこで見たのかなどを教えていただけると幸いです。

    ※証明はできています。

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅰ・A
    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅲ

    ベストアンサー

    ベストアンサー

    @bausky

    2021/9/28 0:02

    いわゆる”クーポンコレクター問題”に顔を出す式です。

    n,mともに自然数とします。n種類の景品があり、くじを1回引く度にどれか一つが入手出来るとします。このときくじをm回引いて全n種類そろっている場合の数をAn(m)と表すと、


    An(m)=Σk=1n(−1)n−knCkkm　　(最後の指数だけm)An(m)=Σ_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}{}_n{C}_kk^{m}　　(最後の指数だけm)


    この式にm=nを代入すると


    An(n)=n! 、つまりお問い合わせの公式となります。


    ちなみにm＜nとしても、ちゃんとAn(m)=0 ［意味を考えると当然ですが］となります。良く出来てますよね！


    返信(0件)


    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    ありがとうございます！ずっともやもやしてたのでスッキリしました。

    クーポンコレクター問題というのは初めて聞きました。奥の深そうな問題ですね。

    そのほかの回答（1件）

    名無しユーザー

    2021/9/27 22:59

    この回答は削除されました。

    関連する質問

    もっとみる