解決済み
Io_oI

この式を見たことがあるという方はいらっしゃいますか。(偶然見つけた式です)

n!=∑k=1n(−1)n−knCkknn!=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} {_n}C_k k^n

学校や塾の先生にこの式のことを尋ねたところ、「見たことある気がするけど思い出せない」と仰っていたのが気になっています。

自分でできる限り調べてみましたが、すでに知られているものなのかどうか分かりませんでした。

ご存知の方がいれば、どこで見たのかなどを教えていただけると幸いです。

※証明はできています。

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ベストアンサー

bausky

いわゆる”クーポンコレクター問題”に顔を出す式です。

n,mともに自然数とします。n種類の景品があり、くじを1回引く度にどれか一つが入手出来るとします。このときくじをm回引いて全n種類そろっている場合の数をAn(m)と表すと、


An(m)=Σk=1n(−1)n−knCkkm　　(最後の指数だけm)An(m)=Σ_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}{}_n{C}_kk^{m}　　(最後の指数だけm)


この式にm=nを代入すると


An(n)=n! 、つまりお問い合わせの公式となります。


ちなみにm＜nとしても、ちゃんとAn(m)=0 ［意味を考えると当然ですが］となります。良く出来てますよね！


返信(0件)


いいね39
  • Io_oI
    お礼

    ありがとうございます！ずっともやもやしてたのでスッキリしました。

    クーポンコレクター問題というのは初めて聞きました。奥の深そうな問題ですね。

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