limとfの交換について質問です。

高校生です。

limとlogが交換可能であることの証明

x→aのとき、y→Aならば、

lim[x→a] log(y) =lim[y→A] log(y)

対数関数は連続であるので

lim[y→A] log(y) = log(A) ①

lim[y→A] y = A

より

log(lim[y→A] y ) = log(A)

①より

log(lim[y→A] y ) = lim[y→A] log(y)

対数関数はxとyが1対1に対応するので、

y→Aのとき、x→a

よって

log(lim[x→a] y ) = lim[x→a] log(y)

これは正しいですか？

また、連続関数であれば交換可能ということは1対1に対応することを使わなくても証明できると思うので、連続関数fについてlimと fが交換可能であることを証明して欲しいで

す。

回答 1件

ベストアンサー

退会したユーザー 2023/1/27

　基本的に正しい証明ではないかと思います。一般の連続関数 $f$ の場合の証明は次のようにできます。

（証明）仮定より、 $x$ を限りなく $a$ へ近づければ $y$ は限りなく $A$ へ近づく。 $y$ が $A$ へ限りなく近づくので、 $f(y)$ も $f(A)$ へ限りなく近づく。すなわち、

$\lim_{x \to a} f(y) = f(A)$

ここで $A = \lim_{x \to a} y$ と書き換えれば

$\lim_{x \to a} f(y) = f \left(\lim_{x \to a} y\right)$

を得る。（証明おわり）

　問題は、 $x \to a$ のとき、 $y, A$ の距離、 $f(y), f(A)$ の距離が限りなく縮まるか否かです。もしこれらの距離がある正の定数より縮まらないなら、勿論この命題は成り立ちません。しかし、そういう定数は存在しない（限りなく距離が縮まるので、どんな微小な定数をとっても、いずれはその定数を距離が下まわる）ことを保証するのが、 $y \to A,\ f(y) \to f(A)$ という条件です。

123456789 2023/1/28

ありがとうございます。すぐに回答してもらえて助かりました。こんなに簡潔に証明できるんですね。

もう一つだけ質問なんですが
lim［x→a］f(y)=f(lim［x→a］y)
はy=Aで連続であれば他のところで不連続でも用いられますか？
退会したユーザー 2023/1/28

　 $y = A$ で連続なら使えます。
　たとえば、 $y = 3$ で連続ではあるけれどもその直近に不連続な点があるような関数を例にとって見ます。
$f(y) = \begin{cases}y^2 + 1 & (|y - 3| \leq 1 / 10^{1000}) \\y^2 & (|y - 3| > 1/10^{1000})\end{cases}$
この関数は、区間 $[3 - 1/10^{1000}, 3 + 1/10^{1000}]$ で連続になっています。これは非常に短い区間ではありますが、 $y$ を限りなく $3$ へ近づけてゆくなら、いずれは $y$ がこの区間に入るので、 $f(y)$ は限りなく $f(3)$ へ近づきます。ですので、こういう場合でも上の証明は問題なく通用します。区間の長さがどれほど短くなっても話は同じです。
　しかし、区間をどんどん短くしていって、ついに一点 $[3,3]$ にまで縮まってしまったときだけは話が別になります。それは $y = 3$ で不連続ということに他ならないからです。
123456789 2023/1/28

お礼

丁寧にありがとうございました。これでモヤモヤせずにlimとlogを交換することができます。ありがとうございました。

limとfの交換について質問です。

回答 1件

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