limとfの交換について質問です。高校生です。 limとlogが交換可能であることの証明 x→aのとき、y→Aならば、

Question

limとfの交換について質問です。

高校生です。

limとlogが交換可能であることの証明

x→aのとき、y→Aならば、

lim[x→a] log(y) =lim[y→A] log(y)

対数関数は連続であるので

lim[y→A] log(y) = log(A) ①

lim[y→A] y = A

より

log(lim[y→A] y ) = log(A)

①より

log(lim[y→A] y ) = lim[y→A] log(y)

対数関数はxとyが1対1に対応するので、

y→Aのとき、x→a

よって

log(lim[x→a] y ) = lim[x→a] log(y)

これは正しいですか？

また、連続関数であれば交換可能ということは1対1に対応することを使わなくても証明できると思うので、連続関数fについてlimと fが交換可能であることを証明して欲しいで

す。

Accepted Answer

　基本的に正しい証明ではないかと思います。一般の連続関数 $f$ の場合の証明は次のようにできます。

（証明）仮定より、 $x$ を限りなく $a$ へ近づければ $y$ は限りなく $A$ へ近づく。 $y$ が $A$ へ限りなく近づくので、 $f(y)$ も $f(A)$ へ限りなく近づく。すなわち、

$\lim_{x \to a} f(y) = f(A)$

ここで $A = \lim_{x \to a} y$ と書き換えれば

$\lim_{x \to a} f(y) = f \left(\lim_{x \to a} y\right)$

を得る。（証明おわり）

　問題は、 $x \to a$ のとき、 $y, A$ の距離、 $f(y), f(A)$ の距離が限りなく縮まるか否かです。もしこれらの距離がある正の定数より縮まらないなら、勿論この命題は成り立ちません。しかし、そういう定数は存在しない（限りなく距離が縮まるので、どんな微小な定数をとっても、いずれはその定数を距離が下まわる）ことを保証するのが、 $y \to A,\ f(y) \to f(A)$ という条件です。