解決済み

cosxとsinxの偶関数と奇関数の識別の仕方がわかりません。(グラフでイメージするのでしょうか?cosxならy軸対象のグラフすなわち偶感数など)それとsin^2xの時はどうして偶関数なのでしょうか?普通に考えて二乗がついているからでしょうか?

ベストアンサー

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偶関数、奇関数の定義に帰るといろいろ分かると思います。

もしf(x)f(x)が偶関数であるというのは

f(x)=f(x)f(-x)=f(x)

が成り立つことです。逆にf(x)f(x)が奇関数であるというのは

f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)

が成り立つことになります。

たとえば、二つの奇関数f(x),g(x)f(x),g(x)の積はどうなるでしょうか?今

h(x)=f(x)×g(x)h(x)=f(x)\times g(x)

とすると、

h(x)=f(x)g(x)=(1)f(x)×(1)g(x)=f(x)g(x)=h(x)h(-x)=f(-x)g(-x)=(-1)f(x)\times(-1)g(x)=f(x)g(x)=h(x)

と分かります。つまり、二つの奇関数の積は偶関数\underline{二つの奇関数の積は偶関数}と分かります。よって、sinx×sinx\sin x \times \sin xは偶関数となります。


同様に考えると以下のことが分かります。簡単に示せますのでやってみてください。


・偶関数 ×\times 奇関数 = 奇関数

・偶関数 ×\times 偶関数 = 偶関数

・偶関数 ±\pm 偶関数 = 偶関数

・奇関数 ±\pm 奇関数 = 奇関数


原則的には、これらの組み合わせで関数の偶奇判定は議論出来ます。


補足

二行目の『もし』は打ち間違えなので気にしないでください。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

計算上から奇関数か偶関数かを判断できるのはとても参考になりました。

🙏

そのほかの回答(1件)

それであってますよ!

偶関数はy軸対象のグラフ、

奇関数は原点対象のグラフです!

その分別から「面積が一緒だな。」とか、「交点はy軸対象だな。」と分別できます!僕が自作問題作る時は大抵以下の関数を使います!

f(x)=x38xf(x)=x^3-8x

このグラフは1つ1つの項の次数はすべて整数奇数乗なので、奇関数です!

大抵積分の問題は計算を簡単にできるように奇関数とか偶関数とか偏っています。

以下のグラフは偶関数です!


f(x)=4x416x2+15f(x)=4x^4-16x^2+15


ちなみに定数などは上記の0乗という考え方で偶数乗となります。\boldsymbol{ちなみに定数などは上記の0乗という考え方で偶数乗となります。}

僕はこの考え方から、0は偶数だと思います。\boldsymbol{僕はこの考え方から、0は偶数だと思います。}


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