二次方程式における「解と係数の関係」は、係数が複素数でも成り立ちますか？また、成り立つ場合、それを事実として答案に用いて

Question

二次方程式における「解と係数の関係」は、係数が複素数でも成り立ちますか？また、成り立つ場合、それを事実として答案に用いてもよいですか？

具体的には、 $a, b, c$ は実数とは限らないとし、 $a$ は0でないとします。このとき、 $x$ に関する二次方程式

$ax^{2}+bx+c=0$

の2つの解を $\alpha, \beta$ としたとき

$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

という関係は $a, b, c$ がいずれも実数であれば事実として答案に用いてよいと認識しておりますが、 $a, b, c$ がいずれも実数とは限らない場合でも、事実として答案に用いてよいですか？

@phyman · Accepted Answer

解と係数の関係の証明をしてみましょう。 方程式、 $$ ax^2 + bx + c = 0\ \ \ (a 
e 0) $$ の解を$\alpha , \beta$とおくと上の方程式は、 $$ a(x - \alpha)(x - \beta) = 0 $$ と表すことができる。上式を展開すると、 $$ ax^2 - a(\alpha + \beta)x + a\alpha\beta = 0 $$ となる。元の、 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ と係数比較すると、 $$ \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}\  a\alpha\beta = \dfrac{c}{a} $$ を得る。□ 証明には四則演算と係数比較しか使っておらず、複素数はどちらも成立するので、解と係数の関係は複素数であっても成立します。 解答では、解と係数の関係を証明する問題でない限りは使用して良いです。ただ、$a
e 0$と明記されていない場合は書かないと駄目かなとは思います。   補足: ※訂正 $$ a\alpha\beta = \frac{c}{a} $$ ではなく、 $$ \alpha\beta = \frac{c}{a} $$ です。