諸事情で解けるかわからない積分の問題です。$$I=\int(x^2+1)^2\cdot e^{x^2} dx$$$$J=\int x\sin(x^2) dx$$$$K=\int \dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 x+\cos^2 x\cdot\tan^2 x} dx$$$$L=\int \dfrac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$$を解ける方はいらっしゃいますか？

しょっぱなから解けない奴ですね、解きます。(特別な関数を使用します)

今回使うのは前にも言ったやつですが、

$$\int e^{x^2} dx=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \mathrm{erfi}(x)+C$$

このへんてこりんです。虚数誤差関数みたいな名前だったはずです。

$$I=\int (x^4+2x^2+1) e^{x^2 }dx$$

ここで、ぶっ飛びますが、

$$I_n=\int x^n e^{x^2} dx　とします。$$

$$I_n=\dfrac{1}{n+1} x^{n+1} e^{x^2}-\dfrac{2}{n+1} \int x^{n+2} e^{x^2} dx$$

便宜上定数を省かせてもらいます

$$I_n=\dfrac{1}{n+1} x^{n+1} e^{x^2}-\dfrac{2}{n+1} I_{n+2}$$

これを利用して答えを出していきます。

$$I_0=\int e^{x^2} dx= x e^{x^2}-2I_{2}　　I_2=\dfrac{1}{3} x^{3} e^{x^2}-\dfrac{2}{3} I_{4}$$

よって、

$$\int 2x^2 e^{x^2} dx=xe^{x^2}-\int e^{x^2} dx$$

$$\int x^4 e^{x^2}dx=\dfrac{1}{2} x^3 e^{x^2}-\dfrac{3}{4} x e^{x^2}+\dfrac{3}{4}\int e^{x^2} dx$$

$$∴I=\dfrac{3\sqrt{\pi}}{8}\mathrm{erfi}(x)+\dfrac{1}{4} x e^{x^2} +\dfrac{1}{2} x^3 e^{x^2}+C$$

ここからは結構簡単です、、

$$J=-\dfrac{1}{2} \int (\cos (x^2))' dx=-\dfrac{1}{2} \cos (x^2)+C$$

$$K=\int \dfrac{1}{2}dx=\dfrac{1}{2}x+C$$

$$L=\int \dfrac{\tan^2 x}{\cos^2 x}dx$$

ここで、　$\tan x=t　とし、　\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

$$L=\int t^2 dt=\dfrac{1}{3}t^3+C=\dfrac{1}{3}\tan ^3x+C$$