写真の問題についてですが、赤線部への変形は右図のグラフからだと思うのですが、どのようにしてf(g(x)=4のときg(x)=-2,1と求めてるのですか？解説おねがいします。

$f(g(x))$ を $g(x)$ の関数であるとします。

この時 $f(g(x))=(g(x))^2+g(x)+2$ の図形(以下 $C$ とします)が右のグラフの通りです。

(これは，$y=x^2+x+2$ のグラフの $y, x$ をそれぞれ $f(g(x)), g(x)$ に変えたものですね)

ここで，$f(1)$ というのは $g(x)=1$ のときの $f(g(x))$ です。よって，このグラフ上では $g(x)=1$ と $C$ の交点の座標が $(1,4)$ ですから，$f(g(x))\geq4$ ならば良いということです。

なので、$f(g(x))=4$ と $C$ のもう一つの交点が $(-2,4)$ である(ここは計算で求めます)ことから，$f(g(x))\geq4$ となるのは，$g(x)\leq-2, 1 \leq g(x)$

なお，すべて計算でも求められます。

$$f(1)=4であるから, \\f(g(x))\geq4 \\\iff (g(x))^2+g(x)+2\geq4 \\\iff (g(x))^2+g(x)-2\geq0 \\\iff (g(x)+2)(g(x)-1)\geq0$$