空間内に四面体があって、各点と、その点の対面の三角形の重心を結んだ直線は対面と垂直である。この時、四面体は正四面体であることを示せ。ただし、ある点の対面とは、ある点以外の3つの点がなす三角形を言う。

$4$ 面体 $ABCD$ の重心を原点にとる．（このとき $A,B,C,D$ の配置が $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} = 0$ を満たすことに注意する．）頂点 $A$ の対面の重心は $\vec{G}_A = \dfrac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C} + \vec{D})$，そして仮定より $\vec{G}_A \cdot (\vec{G}_A - \vec{B}) = 0$ だから，

$$\begin{aligned}& \vec{G}_A \cdot (\vec{G}_A - \vec{B}) = 0 \\& \quad\iff \frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C} + \vec{D}) \cdot \frac{1}{3}(-2\vec{B} + \vec{C} + \vec{D}) = 0 \\& \quad\iff \vec{A} \cdot (\vec{A} + 3\vec{B}) = 0．\end{aligned}$$

同様の方程式を計 $12$ 個立てると分かるように，

$$|\vec{A} - \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{C}|^2 = |\vec{A} - \vec{D}|^2 = |\vec{B} - \vec{C}|^2 = |\vec{B} - \vec{D}|^2 = |\vec{C} - \vec{D}|^2．$$

これで証明できます