パスカルの公式の証明を学習しているのですが波線部の変形がいまいち分かりません。

変形に関してですが、

$$\dfrac{{(n-1)}!}{{(r-1)}!{(n-1-r)}!}\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{n-r}\right)$$

ここの部分を$\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{n-r}\right)=\dfrac{n}{r(n-r)}$こう変形して、

$$\dfrac{{(n-1)}!}{{(r-1)}!{(n-r-1)}!}\left(\dfrac{n}{r(n-r)}\right)$$

$$\dfrac{{n(n-1)}!}{{r(r-1)}!{(n-r)(n-r-1)}!}ここ大事です↓$$

$$\dfrac{{n}!}{{r}!{(n-r)}!}$$

変形はざっとこんな感じです。階乗の変形はイメージがすぐに出ないかもしれないので、$n(n-1)!=n!$の変形がすぐ出れば大丈夫だと思いますよ。あとは本当に慣れですね