数学の質問です。
グラフの端点に於ける微分可能性は高校数学ではどのように定義されて居るのでしょうか？
但し、グラフの定義域は本来の定義域で、勝手に定めた定義域ではないとします。（例えば、の本来の定義域はですが、の定義域は勝手に定めた定義域、見たいな感じです。）
端点では、（連続がそうであったように）左側極限と右側極限のどちらがかが存在すれば、微分可能であると言うのでしょうか？若しくは、連続とは異なり、左側極限と右側極限の両方が存在し、その値が一致する場合にのみ微分可能と言うのでしょうか？
また、グラフの定義域が本来の定義域ではなく、勝手に定めた定義域だとするとどうでしょうか？
勝手に定めた定義域だと、端点に於いても左側極限と右側極限の両方が存在しますよね。この場合は端点では微分可能なのでしょうか？
因みに、この疑問は平均値の定理を見て居る時に出て来た疑問です。
平均値の定理は
「
関数が閉区間で連続で、開区間で微分可能ならば、
を満たす実数が存在する。
」
ですが、連続の設定が閉区間なのに、なぜ、微分可能の設定が開区間なのだろうかと思い、端点では微分可能ではないのではないかと思った次第です。こちらに就いても教えて下さるとありがたいです。
稚拙な文章ですが、どうか回答宜しくお願い致します。（※大学に行くと数学の世界が凄く広がると思いますが、飽くまで高校範囲での回答をお願い致したいです。）
すみません。
一つ確認したいのですが、の極限は存在しない（定義出来ない）で合って居ますでしょうか？
長文失礼致しました。
ベストアンサー
開区間の端点では微分可能でないとするのが一般的だと思います。
増減表を書くときも、定義域の端点での の符号などは空欄にしておくことが多いですね。
ただ、微分可能ではないものの、微分係数の極限を考えることはあります。
今回の例のように、開区間 で定義された関数 に対して、
などを考えることで、定義域の端点の近くでのグラフの傾きが分かります。
また、関数 は実数 に対して定義された関数なので、
は存在しません。
開区間ではなく、閉区間の端点では微分可能性はどうなるのでしょうか？
平均値の定理では「開区間で微分可能ならば、」となっていますが、自分は閉区間の端点では微分可能ではないから開区間で微分可能としているのではないかと思いましたが、これは間違って居るのでしょうか？
関数はが存在しないために（端点）で微分可能ではないと言えますが、関数は端点で左側極限と右側極限が一致し、極限値はと求まりますが、この場合、関数はで微分可能と言うのでしょうか？
分かり難い文章ですみませんが、是非返信頂けるとありがたいです。
区間の端点では微分可能でないので、「開区間 で微分可能」という表現になっています。というのが理解できていない気がします。
では と のどちらも区間内ですが、 ではどちらも区間外です。
区間の端点においては片側からの極限しか存在しないため、、端点を含むか含まないかによらず(つまり開区間でも閉区間でも)、その端点では微分可能ではありません。
しかし、開区間であれば、その区間に端点は含まれていないので、開区間内では微分可能と言えます。
返信ありがとうございます。
開区間ではは含まず、閉区間ではを含むと言うことは分かって居たのですが、説明が上手く出来なかったために、誤解を招いて終ったようです。すみません。知りたかったことは知れました。ありがとうございました。
質問者からのお礼コメント
ありがとうございました。