$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

まず、行列の累乗を簡単に計算するために $A$ を対角化します。

$$P=\begin{pmatrix}3&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

とおくと、

$$\begin{aligned}P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\-1&0\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\end{aligned}$$

となります。

ここで、

$$\begin{aligned}(P^{-1}AP)^n&=P^{-1}APP^{-1}AP\cdots P^{-1}AP \\&=P^{-1}A^n P\end{aligned}$$

であり、

$$(P^{-1}AP)^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}^n =\begin{pmatrix}1&0\\0&{2^n}\end{pmatrix}$$

です。

よって、

$$\begin{aligned}A^n&=P(P^{-1}AP)^n P^{-1} \\&=\begin{pmatrix}3&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&{2^n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}2^n&3(2^n-1)\\0&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$

を得ます。