解決済み @SK_PV_NRT 2023/5/1 14:10 1 回答 A=(2301)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}A=(2031)のn乗を求めよ。これを分かりやすく教えてください 高校生数学数学Ⅲ大学生・大学院生定期試験(理系)理学 ベストアンサー @sHlcNRe46 2023/5/1 22:47 まず、行列の累乗を簡単に計算するために AAA を対角化します。P=(31−10)P=\begin{pmatrix}3&1\\-1&0\end{pmatrix}P=(3−110)とおくと、P−1AP=(0−113)(2301)(31−10)=(1002)\begin{aligned}P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\-1&0\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\end{aligned}P−1AP=(01−13)(2031)(3−110)=(1002)となります。ここで、(P−1AP)n=P−1APP−1AP⋯P−1AP=P−1AnP\begin{aligned}(P^{-1}AP)^n&=P^{-1}APP^{-1}AP\cdots P^{-1}AP \\&=P^{-1}A^n P\end{aligned}(P−1AP)n=P−1APP−1AP⋯P−1AP=P−1AnPであり、(P−1AP)n=(1002)n=(1002n)(P^{-1}AP)^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}^n =\begin{pmatrix}1&0\\0&{2^n}\end{pmatrix}(P−1AP)n=(1002)n=(1002n)です。よって、An=P(P−1AP)nP−1=(31−10)(1002n)(0−113)=(2n3(2n−1)01)\begin{aligned}A^n&=P(P^{-1}AP)^n P^{-1} \\&=\begin{pmatrix}3&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&{2^n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}2^n&3(2^n-1)\\0&1\end{pmatrix}\end{aligned}An=P(P−1AP)nP−1=(3−110)(1002n)(01−13)=(2n03(2n−1)1)を得ます。 補足 P=(31−10)P=\begin{pmatrix}3&1\\-1&0\end{pmatrix}P=(3−110) といきなり出てきましたが、もしこの行列をどのように求めたかが理解できなければ、対角化からもう一度復習することを推奨します。 質問者からのお礼コメント ありがとうございます シェアしよう! そのほかの回答(0件)
質問者からのお礼コメント
ありがとうございます