赤（）の所で対数微分法を使っているのはなぜでしょうか？2枚目の写真に照らし合わせるとa ^xは②の（定数）^（変数)になると思うので使わないと思いました､､､

＞＞対数微分法を使っているのはなぜでしょうか？

これは対数微分法ではありません。対数をとった後に微分をしているだけです。また、2枚目の画像内の②の公式は対数微分法を用いています。よくわからなければ対数微分法を学習し直すとよいでしょう。ではなぜ対数をとるか、というと指数部分に変数があると扱いづらいからです。例えば、方程式$3^x=2$を解けと言われたら対数をとるでしょう。基本的には自然対数をとると都合が良い（今回で言えば微分しやすい）ので自然対数をとることが多いです。

＞＞f‘(x)<0を示して、f(x)<0がわかるのはどうしてでしょうか？

f'(x)<0から、f(x)は単調減少であることがわかります。それと、f(1)=0より、x>1の範囲ではf(x)<0ということがわかります。問題文の「不等式が成り立つ」というのは任意のxについてですので、x>1のときに不等式が成り立たないのは不適となります。

＞＞範囲を1で区切って0<a≦1とa >1で場合分けしている理由

指数・対数関数は、底や真数が1未満か1より大きいかで性質がだいぶ異なります。どう異なるかわからなければ調べましょう。とても重要です。

今回は、真数が1未満の場合自然対数の値は負になるので、$log a-1/x$が負になり、1以上の場合は$log a-1/x$の正負はxの値によることから場合分けをしています。