• 解決済み

    @estrellado

    2022/2/14 11:02

    1 回答

    極限値の存在について、

    lim⁡x→af(x)g(x)が存在してlim⁡x→ag(x)=0⟹lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\text{が存在して}\lim_{x\to a}g(x)=0\Longrightarrow\lim_{x\to a}f(x)=0

    が成り立ちますが、逆に（逆というのは正しい言い方でないですが）

    lim⁡x→ag(x)=0かつlim⁡x→af(x)=0⟹lim⁡x→af(x)g(x)が存在する\lim_{x\to a}g(x)=0\text{かつ}\lim_{x\to a}f(x)=0\Longrightarrow\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\text{が存在する}

    は成り立ちますか？

    （「lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}が極限値をもつように定数を定めよ」のような問題で、lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a}f(x)=0を用いて求めたaaの十分性を確認する必要があるのか気になりました）

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅲ

    ベストアンサー

    ベストアンサー

    @icedaisuki

    2022/2/14 11:55

    lim⁡x→ah(x)\lim_{x \to a}h(x) が一定の範囲で振動するようなaa と h(x)h(x) をとり f(x)=xh(x)f(x)=xh(x)，g(x)=xg(x)=x とおくと反例が作れます．例えば a=0a=0，f(x)=xsin⁡1xf(x)=x\sin \frac{1}{x}，g(x)=xg(x)=x とすれば反例です．

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    質問者からのお礼コメント

    具体的な反例を示していただきありがとうございます。すっきりしました

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