極限値の存在について、

$$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\text{が存在して}\lim_{x\to a}g(x)=0\Longrightarrow\lim_{x\to a}f(x)=0$$

が成り立ちますが、逆に（逆というのは正しい言い方でないですが）

$$\lim_{x\to a}g(x)=0\text{かつ}\lim_{x\to a}f(x)=0\Longrightarrow\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\text{が存在する}$$

は成り立ちますか？

（「$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$が極限値をもつように定数を定めよ」のような問題で、$\lim_{x\to a}f(x)=0$を用いて求めた$a$の十分性を確認する必要があるのか気になりました）