(1)を合同式で解くことはできますか？

以下、合同式は $\bmod \ 400$ とする。

$$\begin{aligned}21^{21} &= 21 \cdot (21^2)^{10} \equiv 21 \cdot 41^{10} \\&\equiv 21 \cdot 81^5 \equiv 21 \cdot 81 \cdot 161^2 \\&\equiv 101 \cdot (-79) = -7979 \\&\equiv 21\end{aligned}$$

となって、求める余りは $21$ である。

このようになりますが、やはり $21=20+1$ を利用したほうが簡単ですね。