• 解決済み

    @harunootoshigo

    2021/11/12 18:41

    1 回答

    コインをn回投げたとき、表が3回連続で出ないような場合の数をan a_n とする。

    この時の漸化式を教えてください。自然数nは確か4以上だったと思います。またこのような漸化式を上手く立てるコツなどありましたら教えてください！

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    @tokai_teio

    2021/11/15 10:21

    「n≧4n \geqq 4 のとき, nn 回投げて3回連続で表が出ない」・・・（★）


    以下のように「最初の3回がどうだったか？」に注目して場合分けをします。


    （★）のためには、


    (1) 1回目が裏の場合

    残りの n−1n-1 回について3回連続で表が出なければ良い。


    (2) 1回目が表の場合

    以下のように場合分けする。


    (2)-1. 2回目が裏の場合

    残りの n−2n-2 回について3回連続で表が出なければ良い。


    (2)-2. 2回目が表の場合

    3回目は裏で、残りの n−3n-3 回について3回連続で表が出なければ良い。


    逆に、上記以外の場合は（★）を満たさない。


    したがって漸化式は

    an=12an−1+(12)2an−2+(12)3an−3a_{n} = \dfrac{1}{2} a_{n-1} + \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 a_{n-2} + \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 a_{n-3}

    となります。


    漸化式は n−1n-1, n−2n-2 回目はどんな状態だったか？に着目することが多いですが、この発想で苦しい場合は逆に1回目,2回目で場合わけをするとうまくいく場合があります。

    返信(1件)

    @tokai_teio

    2021/11/15 10:32

    「確率」ではなく「場合の数」でしたね。


    漸化式は

    an=an−1+an−2+an−3a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}

    となります。

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    ずっとnから下がるように考えていました……ありがとうございました！

    3回以外でも考えてみて研究してみます！

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