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ベストアンサー
https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere
の Eleven properties of the sphere という項の 7番目の項目によると，等周定理 (Isoperimetric inequality)によって証明できると書いてありますね．Isoperimetric inequality自体の証明はhttps://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality
に挙げられている議論・参考文献を参照するといいと思います！
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