数学であることを証明するときには一番最初に　(証明) と書かなければいけないのですか？先生がそれっぽいことを言ってた気がして、、

書く必要はありません。その後の解答の内容で証明していることが分かるからです。

問題文にない命題を証明する場合や、答えを先に言ってからそれが答えであることを証明する場合などは、日本語でうまく書きましょう。

たとえば、数列 $a_n$ の一般項を求める問題で、

$$\begin{aligned}& \text{以下 }a_n = 2^{n+1}-n^2-3n \text{ であることを数学的帰納法により示す。}\\ & a_1=0 \text{ より、・・・}\end{aligned}$$

のように書ければスマートな答案になるかと思います。