(2)の8行目はなぜx=2で重解を持つのですか？

Question

@shoshinsha · Accepted Answer

結論から言うと、(2)の5,6行めのせいです。

ご存知かもしれませんが、二次以上の関数は連立すると、接点で重解を持つと言う性質があります。(交点では解を持つ)

5,6行目では曲線の式と接線の式を連立するのと同じことをしているため、重解が出てくるのです。

以下に詳しい説明を書きます。

5行目で(2,4)の代わりに

$(x, x^3-3x+2)$ を代入すると

$x^3-3x+2=$

$(3a^2-3)x-2a^3+2$

これは与えられた三次関数と接線の式を連立するのと同義です。

整理して、

$x^3-3a^2x+2a^3=0$

$(x-a)^2(x+2a)=0$

このようにxが、接点のX座標であるaで二重解を持ちました。

xを定数と見てaについて整理すると、

$(a-x)^2(a+x/2)=0$

これより、与えられたxでaが重解を持ちます。他の三次関数の場合も同じように示すことができます。

この分野は自分でグラフなど書いてみるのが理解を深めるためにとても大切です。是非書きましょう！

式とグラフの関係が分かってくると楽しいですよ！

@OMC_Master · Answer

$a^3-3a^2+4$を因数分解すると $(a+1)(a-2)^2$となるからです。

@Suugakuki_0 · Answer

少し遠回りかも知れませんが，丁寧に計算によって示してみますね．

今回の場合に従って， $f(x)=x^{3}+\alpha x+\beta$ という関数を考えます．

_________________________________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

関数 $f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線を

$\ell：y=px+q$

とすれば，「 $f(x)$ と $\ell$ が $x=t$ で接する」ため，「 $f(x)=px+q$ は $x=t$ で重解をもつ」，すなわち

$f(x)-px-q=(x-t)^{2}(x-s)$

と表現できます．これと $y=px+q$ を併せることで

$\ell：y=f(x)-(x-t)^{2}(x-s)$

が得られますが，これは直線なので $3$ 次と $2$ 次の係数が $0$ になるように $s=-2t$ と調節し，展開して

$\ell：y=(3t^{2}+\alpha)x+(\beta -2t^{3})\cdots(*)$

と求まります．

__________________________________________________________________

一方，添付問題集の解説通りに，

$\ell：y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$

とおいてみると，これを展開したものが $(*)$ に一致することがわかります．

補足

つまり， $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$ に代入する値が接点の $x$ 座標 $x=t$ であるならば，その代入後の方程式は，中盤に示すように $x=t$ で重解を持つと考えられます．（わかりにくくて申し訳ないです）

(2)の8行目はなぜx=2で重解を持つのですか？

ベストアンサー

結論から言うと、(2)の5,6行めのせいです。

質問者からのお礼コメント

質問に答えていただきありがとうございます🙇‍♂️。自分の理解力が浅くて返答が遅れてしまい申し訳ありません😞。。よくわからない質問に答えてくださって本当にありがとうございました。

そのほかの回答（2件）

$a^3-3a^2+4$ を因数分解すると

少し遠回りかも知れませんが，丁寧に計算によって示してみますね．

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