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なぜ黒線でひかれた範囲になるのですか?

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変数ttをθ\thetaについての関数とみる.

三角関数の合成を用いて式変形すると,②の式が登場します.

ここで,変数θ\thetaの区間に注目すると,0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \piとなっているので,sin⁡(θ−π6)\sin{(\theta - \frac{\pi}{6})}の範囲に合わせて辺々からπ6\frac{\pi}{6}を引きます.すると③の式が出てきます.これをsin関数に適用すると,

sin⁡(−π6)=−12,sin⁡(5π6)=1\sin{\left(-\frac{\pi}{6}\right)}=-\frac{1}{2},\quad \sin{\left(\frac{5\pi}{6}\right)}=1

より,−12≤sin⁡(θ−π6)≤1-\frac{1}{2} \leq \sin{(\theta-\frac{\pi}{6})} \leq 1が得られます.

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