解決済み

f(x,y)=x2+2xy+2y26x+4y1f(x,y)=x^2+2xy+2y^2−6x+4y−1


この関数の最小値を求めよ。という問題の解答で理解できないところがあります。


f(x,y)=kf(x,y)=k となる (x,y)(x,y) が存在する」


⇔「 f(x,y)kf(x,y)-k の判別式Dが0以上。」


のところです。


f(x,y)f(x,y)xx の2次式と考えれば判別式Dを用いることができ、また


D0D≧0 ⇔「f(x,y)=kf(x,y)=kを実現する実数xxが存在する」


が成り立つことは理解できました。


しかし、D0D≧0 ⇒「f(x,y)=kf(x,y)=k を実現する実数 yy が存在する」


ことはなぜ言えるのでしょうか。


どなたかご教授いただけると幸いです。

ベストアンサー

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 22 変数関数 z=f(x,y)z=f(x,y) とは,ある (x,y)(x,y) に対してただ一つの zz が定まるものを指します.つまり,一般に z=f(x,y)z=f(x,y) 上にある点には,一意的に座標 (x,y,z)(x,y,z) が割り振られます.

 これより,z=f(x,y)z=f(x,y) において xx がある値をとるとき,当然それに連動して yy のとり得る値も存在するわけです.


要するに,

D0    「 f(x,y)=k を実現する実数 x が存在する」D\geq 0\iff 「~f(x,y)=k~を実現する実数~x~が存在する」

    「 f(x,y)=k を実現する実数 y が存在する」\qquad\quad\iff「~f(x,y)=k~を実現する実数~y~が存在する」

から得られる帰結ですね.

質問者からのお礼コメント

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なるほど...!

ありがとうございます!

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