$f(x,y)=x^2+2xy+2y^2−6x+4y−1$ この関数の最小値を求めよ。という問題の解答で理解できないとこ

Question

$f(x,y)=x^2+2xy+2y^2−6x+4y−1$

この関数の最小値を求めよ。という問題の解答で理解できないところがあります。

「 $f(x,y)=k$ となる $(x,y)$ が存在する」

⇔「 $f(x,y)-k$ の判別式Dが0以上。」

のところです。

$f(x,y)$ を $x$ の2次式と考えれば判別式Dを用いることができ、また

$D≧0$ ⇔「 $f(x,y)=k$ を実現する実数 $x$ が存在する」

が成り立つことは理解できました。

しかし、 $D≧0$ ⇒「 $f(x,y)=k$ を実現する実数 $y$ が存在する」

ことはなぜ言えるのでしょうか。

どなたかご教授いただけると幸いです。

@Suugakuki_0 · Accepted Answer

　これより， $z=f(x,y)$ において $x$ がある値をとるとき，当然それに連動して $y$ のとり得る値も存在するわけです．

要するに，

$D\geq 0\iff 「~f(x,y)=k~を実現する実数~x~が存在する」$

$\qquad\quad\iff「~f(x,y)=k~を実現する実数~y~が存在する」$

から得られる帰結ですね．