https://manabitimes.jp/math/628 において、「ちなみにこの公式はベクトルの面積比の公式からすぐに導ける。」とありますが、もう少し深堀りしてほしいです。

初心に帰り、原点を中心とする半径１の円周に内接する三角形ABCを考えてみます。平面上のどんな三角形も、この三角形ABCと相似になります。三角形ABCが鈍角三角形のときには、Aを通る直径が円周と交わる点をA'、BをB'、CをC'と書き換えると、三角形A’B’C’は鋭角三角形になります。そして、３つの角２A、２B、２Cを３６０度から引いた角がそれぞれ２A'、２B'、２C'になりますから、三角形ABCが鋭角三角形の場合を考えれば十分です。半径OA上に、OD=sin2Aとなる点Dをとり、対角線OEが直線OC上に、OFが半径OB上にくる平行四辺形ODEFをかきます。このとき、三角形ODEに正弦定理を用いると、DE＝sin2B、

OE＝sin2Cになりますから、ベクトルの和から、$$sin2A \vec{a}+sin2B\vec{b}+sin2C\vec{c}=\vec{0}　　(式１)$$

が成り立ちます。そこで、原点を平面上の任意の場所に移動し、外心の位置ベクトルを$\vec{d}$とおくと、式１は、$$sin2A(\vec{a}-\vec{d})+sin2B(\vec{b}-\vec{d})+sin2C(\vec{c}-\vec{d})=\vec{0}$$

と書き直せます。よって、

　　　$\vec{d}$=$\dfrac{sin2A \vec{a}+sin2B\vec{b}+sin2C\vec{c}}{sin2A+sin2B+sin2C}$

「係数の和が１になる」のは、式１の同値変形からくるものですから、たとえば$$\vec{d}=p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c}$$

とすれば、必ず$$p+q+r=1$$になります。