公理と定理の違いは何ですか。

めちゃくちゃざっくり言うと

公理は「こんな数を考えてみたとき、これが成り立つとします。

これは前提だから口出ししないでね。」

定理は「公理の上で、こんな事実が成り立ちます。事実だから口出しとかはできません。」ということです

…分かりにくいですね。

より分かりやすくするために、オセロというゲームを例に考えてみます。

「表と裏がそれぞれ白と黒の石と、8×8の盤を使って、ゲームをします。ルールはこういう感じです」

という宣言

これは公理です。公理なので

「いや、緑色の石を使いませんか？」

とか

「もっと盤を広げませんか？」

とかそういう議論はしません。前提を変えるのは変なので。

逆に言えば、前提を変える。

言うなればゲームを発展させるとき、この議論をし始めます。例えば、

「駒の種類を増やして、元々置いといて動かすようにしませんか？」とか、そういう議論をするとチェスだとか将棋になり、発展しますね。

この話は自然数という数の範囲から負の数を考えたりするのに似ています。

「自然数という数を考えます。それらはこのようなルールを満たします。」という

自然数の公理を

「足してもそのまんまになる数を考えませんか？」といった議論によって発展させて整数の公理にしたわけですね。

ここからはオセロのルールを前提に話をします

「n枚の白い石を黒い石で挟んでひっくり返したら、n枚が黒い石になる。」

「こういった戦法がオセロにおいて強い」

この2つは定理です。「ゲームのルール」の上で、これらの定理が事実として成り立っているので、口出しなどはできません。

この話は

「自然数をかけ合わせたら、一方の数をもう一方の数回足し合わせたものになる」

「直角三角形において、辺の長さを$a,b,c$としたら$a^2+b^2=c^2$となる」

などで考えてみるとこの2つは事実だし、覆せない事柄なのが分かります。

これはそれぞれ「自然数の公理」と「三角形の公理」によって、成り立っているからです。

これらが公理と定理の違いです。

最後に、有名な公理として「ペアノの公理」があります。

これは自然数を定める公理なので、これを見てみると、公理とはどのような物かがわかりやすいと思います。

また、私自身、公理や集合のような数学の大前提に対する理解があまり深くないので、イメージしか説明できませんでした。申し訳ありません。

長文失礼しました。