数学オリンピックジュニアの問題なんですけど、教えて下さい。問題は下の画像です。

Question

@Cha_h_k · Accepted Answer

200!＝(1×3×5×...×199)×(2×4×6×...200)

のように、奇数と偶数に分けます。

すると、偶数の積は、

｛(2×1)×(2×2) ×(2×3)...×(2×100)｝

＝2^100×(1×2×3×...100)=2^100×(100!)

と変形できるので、分母と分子を(100!)で割ると、分母は100!、分子は2^100×(1×3×5×...199)が残ります。2^100は偶数のため、奇素数を含まないので、奇数の積の部分だけ考えればよいことが分かります。

...この状態を(A)とします。

この時点で、分子・分母ともに、2桁の素数は全て因数として含まれていることに注意します。

ここで、条件を満たす数は、｢約分後に分子・分母を素因数分解したとき、分子に残る最大の素数｣です。そのため、(A)の分子・分母をそれぞれ素因数分解した時の奇素数の出現回数を考えればよいことになります。

分母を素因数分解すると、51以上の数は1回しか現れません。

(次にその素数を因数に含む数が100より大きいため)

また、50より大きい数のうち、67以上の数は、67×3>200なので、分子を素因数分解した時、1回しか現れません。

(例えば、67を因数に持つ次の奇数が201)

つまり、67以上の奇素数は約分後に出現しないので、条件を満たしません。

51以上67未満の数は分子に2回以上(実際には全て2回)出現し、分母に1回出現するので、条件を満たします。

この中で最大の素数は61

したがって、答えは61になります。

補足

実際には分母が(100!)^2の時点で、53以上の奇素数は2回出現するので、求める奇素数が分子に3回以上現れれば良い。

つまり、奇素数をpとすると

3p<200 を満たす最大の奇素数である61が解であるといえますが、2nCnの式変形の方法の一つとして紹介しました。