浮力の原理「アルキメデスの原理」と例題

以下の流体中の点線部分を考える。点線部分の流体は，点線部分外の流体と全く同じ流体であることに注意する。流体の密度を $\rho$，点線部分の流体の体積を $V$ とすると，点線部分の受ける重力は $\rho Vg$ であることがわかる。今，点線部分の流体は流体の中で静止しているので，重力につり合う力がはたらいている。つまり，点線部分の流体が点線部外の流体から受ける圧力の合力(浮力)は，この場合上向き $\rho Vg$ であるとわかる。

この議論は点線部分がどのような形でも成り立つ。また，浮力は点線部分外の流体から点線部分の流体への流体圧の合力なので，点線部分に他の物体を入れても，はたらく浮力の大きさは，$\rho Vg$ である。向きについても結論を得る。

荷台と一緒に運動する座標系で見ると，点線部分にはたらく見かけの重力は，$\rho V\sqrt{g^2+a^2}$.

流体部分は静止しているので，力のつりあいより，浮力は見かけの重力と反対の方向にはたらき，大きさは $\rho V\sqrt{g^2+a^2}$ である。

氷の沈んでいる部分の体積を $V$，水の密度を $\rho_水$，氷全体の質量を $m$ とする。力のつりあいは，$$\rho_水 Vg-mg=0$$

これを整理して，$V=\dfrac{m}{\rho_水}$ を得る。氷が溶けて水になった時，$m$ は変化しないので，これは質量 $m$ の氷が溶けて水になった時，体積が $V$ になることを示している。

以上より，水面の高さは変化しない。

(1)鉛直方向下向きに $x$ 軸をとり，水面の高さを原点，浮きの最下点の位置の座標を $x$ とおく。このとき，アルキメデスの原理より，浮きにはたらく浮力は $x$ 軸負の向きで，大きさは $\rho Sxg$. よって運動方程式を立てると， $$\begin{aligned} m\ddot{x}&=mg-\rho Sxg\\ &=-\rho Sg\left(x-\dfrac{m}{\rho S}\right) \end{aligned}$$

これは $x=\dfrac{m}{\rho S}$ を振動中心とする，周期 $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{\rho Sg}}$ の単振動。

(2)浮力は浮きの沈んでいる部分の重心にはたらくことに注意する。浮きの重心周りのトルク(モーメント)を考えると，浮力は角度の微小なずれを増長するようにはたらく。よって浮きはそのまま回転する。